0 引言

随着用电质量和节能需求的快速发展,功率变换器作为高效的电能替换装置已经普遍运用于各类电源设备和新能源功率变换装置。随着功率变换装置朝着高效和高功率密度的发展,结合宽禁带半导体器件的发展,工作频率不断提高。高频化、平面化和小型化成为显著的发展方向。电感和变压器等磁性元件作为功率变换装置磁能量存储和传输的关键元件,是功率变换器损耗分析和优化设计的重点,其中绕组损耗作为磁性元件体积、效率和温升的关键参数,其精确和快捷的计算成为研究的一个热点^[1-4]。

现有计算磁性元件绕组损耗的理论模型主要基于Dowell模型和Bessel函数。Dowell模型由于应用简单直观,多年来得到普遍应用。Dowell模型基于电磁场一维涡流方程计算涡流分布和绕组损耗,对于变压器铜箔绕组的损耗计算比较准确,因为变压器绕组窗口的磁场分布基本呈现沿绕组层方向的一维分布。而其对于圆导体绕组,则依据一定的等效方法,将圆导体等效替换为铜箔导体后再应用一维涡流方程近似计算,这种等效替换方法依据直流电阻(或导体面积)不变的原则,但改变了圆导体的尺度和电导率,本文分析表明这种替换方法,随着工作频率的提高,绕组涡流损耗误差随之增大,尤其是对于多股绞线,基于传统Dowell模型的绕组损耗误差明显增大^[5-11]。

此外,随着计算机和数值仿真技术的发展,有限元数值计算成为磁元件电气参数和损耗计算的有效方法。对于磁性元件复杂的三维结构,尤其是多股绞线绕组,为了保证高频下的计算精度,有限元分析需要大量的网格剖分,导致计算资源大大增加。对于复杂的三维模型和具有多股绞线的二维模型(需几百万个剖分网格),实践证明,一般的计算机工作站资源(如64G内存,256G硬盘容量),都难以有效进行仿真,同时数值计算也不利于理论分析和优化设计^[12-13]。

文献[14-15]提出了一种基于有限元分析的改进模型,即将绕组涡流损耗分为邻近效应损耗和集肤效应损耗,并利用有限元分析结合对称边界条件来计算绕组的总体涡流损耗,具有较高的精度。但该方法仿真计算所需的工作量较大,分析设计耗时较长。

本文基于一维涡流方程,通过分析铜箔导体和圆导体中邻近效应和集肤效应所引起的涡流分布规律,并依据邻近效应和集肤效应正交的原理,分别计算邻近效应损耗和集肤效应损耗,并以此提出改进的圆导体绕组损耗模型。

1 Dowell模型

1.1 一维涡流模型

图1所示为一维涡流模型,即近似认为箔形导体两侧的磁场只有z方向分量,且沿z轴都是相同的,因此电流密度分布只与y坐标有关。为了满足这样的条件,需要箔形导体在z方向的高度远大于y方向的宽度,且忽略导体上、下边缘效应对磁场分布的影响。

图1 一维Dowell模型 Fig. 1 One dimensional Dowell model

对似稳电磁场,有电磁场麦克斯韦方程组：

式中 σ、μ 分别为导体的电导率和磁导率。

在一维情况下,H = H_z(y),则依据式(1)推算得到箔形导体的涡流场控制方程式(2)。

式中H₁和H₂是已知的箔形导体两侧磁场强度。

解方程式(2),可以求得箔形导体的电流密度分布表达式,如式(3)所示。

\({{J}_{x}}(y)=\lambda \frac{{{H}_{1}}\cdot \cosh [\lambda \cdot (D-y)]-{{H}_{2}}\cdot \cosh (\lambda \cdot y)}{\sinh (\lambda \cdot D)}\) (3)

式中\(\lambda =\sqrt{\text{j}\omega \mu \sigma }\),则可进一步求得箔形导体单位深

度的损耗,具体表示为

\({{P}_{cv}}=\frac{h}{2\cdot \sigma }\int_{0}^{D}{|{{J}_{x}}(y){{|}^{2}}\text{d}y}\) (4)

式(4)适用于变压器绕组中铜箔导体的涡流损耗计算,因为对于变压器,绕组窗口的磁场分布基本满足一维近似条件,且箔形导体的高度远大于厚度。但对于圆导体绕组,Dowell模型提出了将圆导体层替换成箔形导体的方法,从而可以利用一维涡流方程计算损耗。

1.2 圆导体Dowell模型及其误差分析

现以每根圆导体为例,说明将每根圆导体替换为箔导体的过程,并做出误差分析。如图2所示,首先将直径为D,电导率为 σ 的圆导体替换成面积相等的方形导体,再将方形导体的高度拉长至圆导体的直径高度,即单匝圆导体所占的窗口高度。此时,等效矩形导体的高度为D,厚度为$\sqrt{\mathsf{\pi }}D/2$,而为了保证替换前后圆导体和矩形导体的直流电阻保持不变,再将矩形导体的电导率减小为$\sqrt{\mathsf{\pi }}\sigma /2$。

图2 圆导体等效替换为矩形导体 Fig. 2 Round conductors are equally replaced with rectangular conductors

根据Dowell模型的思想,经过上述一系列的变换,将圆导体等效替换为矩形导体之后,即可通过式(4)计算矩形导体的损耗来近似作为圆导体的损耗,只需将其积分上限的厚度D、电导率 σ 以及导体高度h改为矩形导体的参数即可。

从以上等效可以看出,Dowell模型是以直流电阻保持不变为等效原则的,但带来了矩形导体的平均电流密度和厚度与圆导体的差异,易得：

式中：J_d、J_w分别为矩形导体和圆导体的平均电流密度;η _d为矩形导体厚度和透入深度的比值;η _w为圆导体线径和透入深度的比值。

因此,传统Dowell模型对圆导体的等效处理原则虽然保持了直流电阻不变,或者说偏向于保证较低频率下损耗的等效,但等效后,由于平均电流密度、电导率和导体尺度的改变,即改变了透入深度与导体尺度的比例,从而可能影响较高频率和较大磁场强度下的损耗,尤其对于邻近效应作用较大和应用多股绞线的情况。

因此,在目前功率变换器高频化和多股绞线广泛应用的场合,传统的Dowell模型将带来较大的误差。

2 改进的绕组损耗模型

根据文献[14-15]的分析结果,将绕组涡流损耗分为集肤效应损耗和邻近效应损耗,且由于两部分损耗的空间分布正交性,可以分别独立计算这两部分损耗后叠加。因此,本文在一维涡流模型的基础上,利用分别计算集肤效应损耗和邻近效应损耗的处理方法,提出一种改进的绕组损耗模型。

在高频化和高功率密度的发展趋势下,功率变换装置中的磁元件绕组导线将选择Litz线或多股绞线来降低绕组损耗,此时绕组线径和透入深度的比值一般都能满足小于1,因此为结合实际,本文后续分析所涉及频率和线径的选取,均建立在绕组线径与导体透入深度的比值小于1的基础上。

为了结合一维涡流模型来计算导体的涡流损耗,同时不改变导体线径与透入深度比值大小,以减小该项因素带来的计算误差,故将圆导体等效替换为边长与其直径相等的方形导体,如图3所示。

图3 圆导体等效为方形导体 Fig. 3 Round conductors are equally replaced with square conductors

此时,方形导体和圆导体电导率不变,但因面积不同,二者的直流电阻亦会不同,平均电流密度也将不同。二者的平均电流密度关系可用式(6) 表示。

\({{J}_{\text{w}}}=\frac{4}{\mathsf{\pi }}{{J}_{\text{d}}}\) (6)

依据文献[15]的涡流损耗分离原理,集肤效应损耗是导体自身电流产生的磁场在该导体上所感应的涡流带来的损耗,而邻近效应损耗则只是外部磁场在该导体上感应的涡流带来的损耗。

因此,式(6)所示圆导体与方导体平均电流密度的差异,在计算集肤效应损耗时会有较大的影响。即在计算集肤效应损耗时,根据图3所示模型的等效方法计算得到的方导体平均电流密度应该乘以系数4/π,才能够表征实际圆导体的平均电流密度大小。根据图3所示,并考虑到圆导体沿着y方向的导体高度是随圆的弦长变化,并不是固定的,单匝圆导体单位深度集肤效应损耗的表达式可以表示为

式中h(y)即为圆的弦长。

对于邻近效应损耗,根据图3的导体等效方式,圆导体与等效方导体的尺度与透入深度的比值D/δ相等,图4所示为相同条件下,圆导体和方导体仅在邻近效应作用下的电流密度分布,表明了邻近效应在圆导体和方导体产生的y方向电流密度分布规律基本相同。图5表示圆导体在不同高度沿y方向的电流密度分布规律,可见在同一y轴位置,邻近效应在不同高度所产生的电流密度相同。因此,圆导体的邻近效应损耗可以表示为

式中电流密度J_{d_skin}(y)和J_{d_Prox}(y)分别为集肤效应和邻近效应引起的涡流密度分布。其中,使得图4、5所示导体的涡流效应损耗仅表现为邻近效应损耗

图4 邻近效应下方导体和圆导体电流密度分布 Fig. 4 Distributions of current density in rectangular and round conductor with proximity effect

图5 邻近效应下圆导体不同高度电流密度分布 Fig. 5 Distributions of current density in different height of round conductors with proximity effect

的方法将在3节2D有限元仿真验证中作详细描述。

因此,我们提出的等效原则是保持圆导体的线径尺度和电导率不变,将圆导体替换为边长与其直径相等的方导体,并依据其二者之间的尺度比例关系,将一维涡流方程计算所得的方导体平均电流密度折算为圆导体的平均电流密度。

对于变压器绕组同一绕组层,N匝圆导体单位长度的总涡流损耗可以利用式(9)进行计算。

\({{P}_{\text{total}}}=N({{P}_{\text{skin}}}+{{P}_{\text{prox}}})\) (9)

运用式(9)计算圆导体的涡流损耗,没有考虑导体的绝缘厚度及其匝间距离的影响。而实际绕制的变压器不仅匝间和层间具有绝缘,其每层绕组绕制的高度亦不会与磁芯窗口高度一致,如图6所示。因此,根据上述分析,此时运用Dowell模型计算所得的矩形导体中的电流密度与圆导体中平均电流密度的比值将小于4/π,且式(6)所表示的二者平均电流密度关系将表示为

\({{J}_{\text{w}}}=\frac{4\cdot h}{\mathsf{\pi }\cdot D\cdot N}{{J}_{\text{d}}}\) (10)

式中：h为绕组窗口高度;D为圆导体绕组线径;N为该层绕组的匝数。

一般而言,N匝圆导体绕组的线径之和会小于

图6 绕组与磁芯存在缝隙示意图 Fig. 6 The diagram with the gap between winding and core

绕组窗口的高度。因此,根据式(10)可以发现,此时圆导体的平均电流密度将比根据Dowell模型计算所得的矩形导体中的平均电流密度大4/π 倍,则此时利用式(7)计算每匝圆导体绕组单位长度的集肤效应损耗时,应当用式(10)替代原有公式中的圆导体平均电流密度大小。

3 2D有限元仿真验证

有限元仿真分析电磁场问题是目前业界常用的有效方法,且具有较高的精度。因此,本文利用ANSYS Maxwell@仿真软件建立图7、8所示2D仿真模型,为简单分析,且不失比较的一般性,仅考虑绕组层中的一匝导体段。通过分别对集肤效应和邻近效应在圆导体与方导体上的作用情况进行分析,以验证所提出的绕组损耗模型的精度。

图7 2D圆导体仿真模型图(一匝导体段) Fig. 7 2D Simulation model for round conductor (one turn segment)

图8 2D方导体仿真模型图(一匝导体段) Fig. 8 2D simulation model for square conductor (one turn segment)

图7、8中C1、C2为铜方导体,图7中C0为圆导体,图8中C0为方导体,线径均为D。

为了验证改进模型的精度,采用线径为0.14mm的导体进行仿真计算,如表1所示。

表1 各频率下线径0.14mm与透入深度的比值 Tab. 1 Ratio of diameter 0.14mm to penetration depth in different frequencies

3.1 集肤效应损耗模型验证

为了验证改进模型对导体集肤效应损耗的计算精度,仿真验证时,不妨将图7、8中的C1、C0、C2导体的激励分别设置为 -10、20、-10A,此时C0导体两侧的磁场强度H₁和H₂大小相同,方向相反,且该激励设置并不失一般性,因此在这个条件下得到的仅仅是集肤效应损耗。

图9所示为线径0.14mm的导体在各频率下,圆导体和方导体内沿着x轴线径方向的电流密度(分别标为 | J_r | 与 | J_s |)分布的比值情况。从图9可知,圆导体内的电流密度分布基本是方导体电流密度的1.274倍左右,与2节理论分析的结果一致。因此,可运用式(8)计算圆导体集肤效应的损耗。

图9 圆导体和方导体集肤效应电流密度比值沿线径分布情况 Fig. 9 Current density ratio distribution along wire diameter of round and square conductors caused by skin effect

随着D/δ 的变化,分别采用Dowell模型和改进模型计算图7所示圆导体的损耗,并与2D仿真结果对比的误差情况如图10所示。

上述分析结果表明,2种模型对于圆导体集肤效应的计算结果与仿真结果对比的误差接近且较

图10 Dowell模型和改进模型的集肤效应损耗计算误差 Fig. 10 Errors of skin effect loss by Dowell model and proposed model

小,但随着D/δ 的增加,2种模型的计算误差亦随之增大。此时,利用这2种模型计算集肤效应损耗可能会不满足高计算精度的要求,但它们对于实际设计有一定的参考价值。

3.2 邻近效应损耗模型验证

不妨将图7、8中的C1、C0、C2导体的激励分别设置为10、0、-10A,则此时导体C0两侧的磁场强度(H₁和H₂)大小和方向均相同,因此在这个条件下C0导体只有邻近效应损耗。该激励设置对于分析邻近效应损耗亦不失一般性。

图11显示在只有邻近效应作用下,圆导体内的电流密度 | J_r | 与方导体的电流密度 | J_s | 分布基本一致,故可以用式(9)计算圆导体的邻近效应损耗。

图11 圆导体和方导体邻近效应电流密度比值 沿线径分布情况 Fig. 11 Current density ratio distribution along wire diameter of round and square conductors caused by proximity effect

改进模型和传统Dowell模型计算圆导体邻近效应损耗的误差如图12所示。结果显示,运用改进模型计算邻近效应损耗的误差远小于Dowell模型的计算误差。

图12 Dowell模型和改进模型的邻近效应损耗计算误差 Fig. 12 Calculating errors of proximity effect loss by Dowell model and proposed model

3.3 总涡流损耗模型验证

为验证改进模型对于导体总涡流损耗的计算精度,建立图6所示的多匝圆导体仿真模型,并设置C0为10匝、线径为0.14mm的圆导体,窗口高度h为1.484mm。上述分析分别验证了集肤效应和邻近效应的损耗,表明改进模型对邻近效应损耗的计算精度的提高更加显著。总损耗由集肤效应和邻近效应的损耗组成,集肤效应和邻近效应损耗的比重取决于实际应用中绕组的具体结构设计和导线规格。为了验证的一般性,不妨将C0导体的激励设置为每匝10A,而将C1导体的激励从10~110A以20A的步长增大,而C2导体的激励设置则用以平衡C0和C1导体产生磁势以满足变压器的总安匝平衡条件。此时,圆导体C0上的邻近效应损耗的占比将随着导体C1和C2电流的增大而增大。由于作用于C0导体两侧的磁场强度H₁和H₂可以分解为邻近效应场强H_prox = (H₁  H₂)/2和集肤效应场强H_skin = (H₁-H₂)/2,为便于曲线表达,在给定H_skin (即对应于集肤效应损耗)的情况下,改变H_prox(即对应于邻近效应损耗),仿真验证结果如图13所示。

图13 随邻近效应场强变化,Dowell模型和改进模型的 总损耗计算误差 Fig. 13 Errors of total loss by Dowell model and proposed model with the variation of proximity effect field strength

图13显示了在邻近效应场强逐渐增加的情况下,Dowell模型和改进模型对C0导体总损耗的计算误差。结果表明,利用改进模型计算圆导体的损耗相比于传统Dowell模型具有较小的误差,且随着圆导体两侧的邻近效应场强增强,改进模型计算精度的优势将更为突出。

4 测试验证

为了有效地通过实测验证模型,制作了两颗变压器测试样品,选择绕线中柱为圆形的磁芯,使得绕组具有轴对称结构,而对于每根导体而言,由于线径很细,又完全可以忽略轴对称对导体涡流分布的影响,同时原、副边绕组采用同样的线径,匝数相同,以便于统一模型的线径,且绕满磁芯窗口,以尽量保证实测变压器绕组与本文的一维理论模型对应,只是计算绕组总损耗时,需要计及圆形绕组不同层的匝长差异,而不能简单地用平均匝长来计算。绕组结构和实物如图14、15所示。

图14 测试变压器绕组结构图 Fig. 14 Winding constructions of the test transformers

图15 测试变压器实物图 Fig. 15 Pictures of test transformers

2个测试变压器样品绕组参数如表2所示,它们具有不同的磁芯结构和线径。因为绕组损耗直接表现为绕组交流电阻,所以采用高精度阻抗分析仪(WK5200B)通过副边绕组短路法^[16]测量变压器绕组的总交流电阻。

表2 测试变压器绕组参数 Tab. 2 Construction parameters of test transformers

为了充分验证所提出的改进模型能够在绕组线径和透入深度的比值小于1的情况下较为精确地计算变压器的绕组损耗,GU30和EC4215两种变压器将采取不同线径的绕组结构。因此,在测试验证的过程中,两种型号的变压器将于不同频段进行测试验证,以确保改进模型的计算精度。

图16、17分别为GU30和EC4215两颗磁芯变

图16 GU30变压器绕组交流电阻测试数据 Fig. 16 AC winding loss test data of GU30 transformer

图17 EC4215变压器绕组交流电阻测试数据 Fig. 17 AC winding loss test data of EC4215 transformer

压器样品绕组交流电阻的的测试验证数据。从中可以看出随着绕组线径和透入深度的变化,相比于传统的Dowell模型,改进模型对于绕组电阻(单位电流绕组损耗)的计算结果更加贴近实测数据,这充分验证了改进模型的计算精度及其有效性。因此,在使用litz线等线径较小,邻近效应显著的场合,利用本文提出的改进模型计算绕组损耗,相比于Dowell模型的计算结果将更为精确。

5 结论

针对高频变压器广泛应用的圆导体线形,通过仿真分析发现传统的Dowell模型对圆导体的等效处理方法具有较大误差,尤其对于高频和邻近效应较为显著的情况。通过将总损耗分解为集肤效应和邻近效应损耗,并分别深入分析这2个效应在圆导体和方导体上的涡流分布规律,发现邻近效应是带来损耗误差的主要因素。提出的一种针对圆导体绕组损耗的改进理论模型,较传统的Dowell方法显著提高了绕组损耗计算精度,且模型简单直观,计算快捷。该模型很适用于邻近效应显著以及导体直径与透入深度比值小于1的应用场合,实际应用中,导线线规基本也都会满足这一条件。进一步通过2D电磁场仿真以及2个样品的绕组阻抗测试验证了模型的正确和有效。

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