0 引言

经历多年的研究与发展,氢能作为人类社会的终极能源,其价值已充分得到了全球范围的广泛认同和高度重视,其大规模的建设与应用也已迎来了井喷期。燃料电池作为氢能利用的最主要形式之一,是氢能行业中最具研究意义与发展潜力的技 术^[1-2]。随着质子交换膜燃料电池(PEMFC)技术的进步,燃料电池在车用动力领域的应用得到了迅速的发展,逐步形成了一种新型的新能源车辆代表——燃料电池车辆^[3-4](fuel cell vehicle,FCV)。FCV的燃料加注、续航里程等均与燃油车无异,驾驶使用方便,同时兼具电动车平稳、高效、环保的优点。随着氢气价格的逐渐走低与基建设施的完善,FCV必将成为一种主流的新能源车辆形式。

FCV的核心是燃料电池混合动力系统,由PEMFC发电系统、储能系统以及直流变换器等设备构成^[3]。PEMFC发电系统是混合动力系统的核心,目前对其研究包括系统建模、故障诊断及最优控制等^[5-10]。目前,主要的混合动力系统能量管理方法一般将燃料经济性和动力源耐久性作为优化和控制的目标,可分为基于规则和优化两类。

基于规则的控制策略易于实现,实用性强,其控制逻辑的制定主要依赖于对混合动力系统各部件工作特性的了解和相关工程经验,主要包括：状态机控制、小波-模糊逻辑控制、功率跟随控制 等^[11-13]。P. Garcia等人为燃料电池能量管理策略提出了一种基于状态机的能量管理控制策略,并在实际工况下进行测试以验证其有效性^[11]。李奇等为燃料电池/蓄电池/超级电容混合动力汽车设计了基于模糊控制理论的能量管理策略,以需求功率、蓄电池荷电状态(SOC)和超级电容荷电状态(CSOC)作为输入,以燃料电池系统的输出参考功率为控制器的输出量,并在ADVISOR仿真平台下以不同的工况验证所提算法的有效性^[12]。李熙等提出一种基于T-S模糊控制的燃料电池客车能量管理策略,该策略提出能量分配和SOC反馈的模糊化方法,并基于Advisor平台进行了仿真对比分析^[13]。

基于优化的能量管理策略又可以分为全局优化和瞬时优化能量管理策略。全局优化能量管理策略结合最新的控制理论和优化算法,针对给定的工况数据,寻求达到目标最优的分配方法,其中采用最多的是动态规划(DP)法。张炳力等提出一种基于随机动态规划的燃料电池城市客车能量管理策略的设计思想,将驾驶员需求功率模拟为一个离散的随机动态过程,并建立相应的马尔可夫模型,在此基础上采用策略迭代的算法对能量管理策略进行了优化^[14]。金振华等针对车用燃料电池蓄电池混合动力系统的特点设计了优化的能量管理策略。采用动态规划算法对目标驾驶循环进行全局优化,对最优能量分配策略进行分析,并提取相应的控制规则^[15]。

瞬时优化能量管理策略是一种基于最优化的思想,往往以一个采样时间为优化区间,建立优化目标函数,采取优化算法进行求解,最终得到瞬时最优工作点。瞬时优化策略的目标为实现瞬时控制目标的最优化,但无法保证在整个运行区间内目标最优,计算也较为复杂,如庞特里亚金极小值原理法(pontryagin minimum principle,PMP)和等效氢耗最小原则法(ECMS)均是这一类的能量管理策略。徐梁飞等人建立了系统瞬时氢耗模型,在该模型中,系统瞬时氢耗分为燃料电池瞬时氢耗和蓄电池等效瞬时氢耗2个部分,将蓄电池消耗的电量转化可以与燃料电池相比较的氢气消耗量,然后以等效总氢耗量最小为目标,求解系统目标最小的最优解,从而得到系统的功率优化配置^[16]。García P等人将等效氢耗最小算法应用到了燃料电池/蓄电池/超级

电容混合动力系统中,取得了较好的成果^[17]。清华大学徐梁飞等人采用PMP控制方法,通过仿真实现了插电式燃料电池混合动力大巴车上的应用,并在同一模型上对比了DP和CDCS策略,证明了PMP方法的优越性^[18]。重庆大学秦大同等人基于插电式混合动力汽车将发动机的瞬时油耗拟合成由一次函数和二次函数组成的分段函数形式,将电池瞬时等效油耗拟合成由2个二次函数组成的分段函数形式,在此基础上,通过对 Hamilton 函数的分析,提出使用“五点法”来缩短寻优时间的近似极小值原理实时控制策略^[19]。张承宁等人针对某増程式电动校车设计了一种基于极小值原理的在线能量管理控制策略,分析了其能实现SOC维持控制的机理,并基于Matlab仿真环境和部件实验数据搭建了高保真度的前向仿真模型^[20]。Xu Liangfei等通过应用PMP控制方法,设置了燃料电池启停机、正常运行模式及故障态的控制策略,优化了燃料电池车辆的燃料经济性^[21]。

上述能量管理策略的目标通常设定为氢耗量以提高系统经济性,而忽视了耐久性,对于二者的兼顾性较差。为兼顾经济性和耐久性,本文提出一种基于庞特里亚金极小值原理满意优化的燃料电池混合动力系统分层能量管理方法(pontryagin minimum principle based on satisfactory optimization,SOPMP),采用满意优化原则提高并优化电源的耐久性,采用庞特里亚金极小值原理提高系统的经济性,并对负荷功率进行有效分配。本文实验室研发的燃料电池/蓄电池混合动力观光实验车作为原型,以实测工况为对象,通过实验的方法实现了基于SOPMP方法的能量管理,并与PMP进行了功率波动率及氢耗量的对比。

1 燃料电池混合动力车辆与关键部件

1.1 燃料电池/锂电池实验车

笔者所在课题组研发的燃料电池/锂电池实验车如图1所示。

其关键参数指标如表1所示。

该实验车辆采用PEMFC作为主动力源,采用锂电池作为储能设备与辅助动力源,并采用了有源型混合动力结构,即PEMFC通过单向DC/DC变换器连接至母线,并通过该DC/DC变换器来控制PEMFC的输出电流;锂电池直接与母线相连,直流母线经三相逆变器后驱动交流牵引电机。整车的

图1 燃料电池/锂电池实验车 Fig. 1 Fuel cell/battery experimental vehicle

表1 实验车的关键参数指标 Tab. 1 Key parameters of experimental vehicle

电气系统拓扑结构如图2所示。

图2 实验车辆电气系统拓扑结构 Fig. 2 Electrical system topology of experimental vehicle

1.2 质子交换膜燃料电池(PEMFC)发电系统

根据参数匹配的计算结果,该实验车辆采用了一台3kW质子交换膜燃料电池发电系统,制造商为Horizion公司,型号为H-3000。其主要参数指标如表2所示。

表2 H-3000型PEMFC主要参数指标 Tab. 2 Key parameters of H-3000 PEMFC

根据研究需要,本文通过实验测得了Horizon H-3000的极化曲线和氢气消耗率曲线,分别如图3和图4所示。

根据图4所示的曲线,H-3000型燃料电池氢耗率(L/s)与输出功率基本为线性关系,因此采用一次函数来描述二者的关系,经过拟合得到关系如式(1)所示。

图3 H-3000极化曲线 Fig. 3 Polarization curve of H-3000 PEMFC

图4 H-3000燃料电池氢耗率曲线 Fig. 4 Hydrogen consumption curve of H-3000 PEMFC

\({{C}_{{{\text{H}}_{\text{2}}}}}=0.0002{{P}_{\text{FC}}}-0.0317\) (1)

式中：C_H2为瞬时氢耗率,L/s;P_FC为燃料电池输出功率。

PEMFC系统输出后级与单向DC/DC变换器相连,以抬升燃料电池输出电压至母线电压,并间接控制燃料电池的输出电流情况。该实验车辆采用 美国ZAHN公司的DC10090F-S DC/DC变换器,其关键参数指标如表3所示。

表3 单向DC/DC变换器主要参数指标 Tab. 3 Key parameters of unidirectional DC/DC converter

1.3 锂电池系统

根据参数匹配的计算结果,该实验车辆采用了一组60V 60A•h的磷酸铁锂动力电池,用以平滑电机需求功率波动,并在车辆电制动的同时回收回馈能量,提高能量利用率。

根据研究需要,本文根据实验测得60V 60A•h的动力锂电池开路电压及充放电内阻情况,如图5所示。

采用多项式分别拟合上述测试曲线,得动力锂电池的开路电压V_oc、充放电内阻R_chg/R_dis与SOC的关系式如式(2)—(4)所示。

图5 60V 60A•h动力锂电池测试曲线 Fig. 5 Test curve of 60V 60A•h lithium battery

\({{V}_{\text{oc}}}=43.7SO{{C}^{3}}-66.8SO{{C}^{2}}+40.6SOC+52.8\) (2)

\({{R}_{\text{dis}}}=-0.06SO{{C}^{3}}+0.13SO{{C}^{2}}-0.08SOC+0.08\) (3)

\({{R}_{\text{chg}}}=-0.05SO{{C}^{3}}+0.11SO{{C}^{2}}-0.07SOC+0.08\) (4)

本文使用R²表征拟合函数式与实际数据的符合程度,R²越接近1说明拟合效果越好。经计算,使用式(1)—(4)拟合实际燃料电池氢耗、锂电池开路电压、锂电池放电及充电内阻的拟合精度分别为0.9877、0.9747、0.9523、0.9763。这说明模型具有较高的精度,可以较好反映实际情况。

2 基于庞特里亚金极小值原理满意优化的能量管理方法(SOPMP)

2.1 燃料电池混合动力系统分层能量管理方法

本文根据燃料电池混合动力系统的特点,设计了一种基于满意优化的优先级自上而下的分层能量管理方法,其中,一级优先层为系统硬约束,指在任何情况下都必须满足的约束,以保证系统的正常工作,因此一级优先层将作用于能量管理的任一时刻;二级优先层设置为辅助控制指标,对二级控制目标的优化过程中不再强求最优解,而以满意优化原则代替最优,以获得更宽的可行域和控制自由度;三级优先层为主控制指标,当优化进行到该级别时,需在满意优化得到的可行域中进行PMP寻优计算,得到该负荷需求状态下的最优负荷功率分配,确保整个系统优化解的唯一性。

图6为利用SOPMP方法逐步得到功率最优分配方案[P_fc-opt, P_BAT-opt]的过程。首先根据系统的硬约束(功率需求、动力源输出限制等)得到所有功率分配方案的可行域,并以P_fc-min和P_fc-max作为PEMFC输出功率的上下边界;然后基于建立的耐久性满意优化函数缩小可行域范围,满足满意度要求的即保留,不满足要求的则舍弃,可以得到以P_fc-conmin和P_fc-conmax为上下边界的PEMFC输出功率可行域。

图6 分层能量管理方法思路 Fig. 6 Optimization method of the proposed EMS

最后在[P_fc-conmin, P_fc-conmax]中,基于庞特里亚金极小值原理,经计算得到唯一的PEMFC最优输出功率,并计算可得锂电池最优输出功率,至此可得功率最优分配方案。下面具体介绍各层的设计原则。

2.2 一级优先层

一级优先层是指系统的硬性约束,在燃料电池混合动力系统中,存在以下多种约束,均为系统或供电设备在运行期间必须满足的约束条件,包括：负载功率需求(式(5))、燃料电池输出功率限制(式(6))和锂电池输出功率限制(式(7))。

${{P}_{\text{FC}}}(k)+{{P}_{\text{BAT}}}(k)={{P}_{\text{load}}}(k)$ (5)

${{P}_{\text{FCmin}}}\le {{P}_{\text{FC}}}(k)\le {{P}_{\text{FCmax}}}$ (6)

\({{P}_{\text{BATmin}}}\le {{P}_{\text{BAT}}}(k)\le {{P}_{\text{BATmax}}}\) (7)

表4 H-3000型PEMFC辅机功率实验结果 Tab. 4 Auxiliary power test results of H-3000 PEMFC

同时,,以60V 60A•h磷酸铁锂电池为模型,以4C放电为其最大持续放电能力,以1.5C充电为其最大持续充电能力,计算可得到锂电池的最大输出功率为P_BATmax = 14.4kW,最小输出功率为P_BATmin = 5.4kW。

2.3 满意优化与二级优先层

针对优化问题的最优解不太明确,难以把握的问题,通常遵循“满意优化原则”对优化问题进行求解,它能够使得人类智能有效地解决各种复杂的信息处理问题。与传统最优控制方法不同的是,该方法并非追求某一指标的最优,而目的在于获得多项指标协调后的更高的综合满意度^[22-24]。目前,满意优化问题广泛存在,并且已经得到了一些有效的应用方法与模型。

对于燃料电池系统而言,耐久性和经济性是能量管理系统中两个存在博弈关系的优化目标。出于缓解多目标的相互冲突性,兼顾多目标利益的全局最优化的考量,本文基于满意优化原则设计了以燃料电池和锂电池的耐久性为辅助控制指标的二级优先层。二级优先层对于控制变量的取舍将会影响整个优化控制的结果优劣程度。本文设计的二级优先层以控制效果的综合满意情况为目标,取代传统的最优解目标,可以获得更宽的控制可行域和自 由度。

由于车辆工况的复杂性和随机性,在车载燃料电池耐久性的研究方面,一般认为输出功率波动率、燃料电池频繁起停机、车辆怠速运行会对车载燃料电池耐久性产生较大影响。其中,为避免频繁起停,通常通过设定最小输出功率,让燃料电池系统在车辆启动后不停机运行(除非故障条件下);而在怠速运行下,主要是通过燃料电池系统的优化控制而减小耐久性影响,优化控制的参数包括工作温度、反应气体压力、反应气体过量系数和进气相对湿度等^[25-28]。

车载PEMFC发电系统最显著的特点是其输出功率会随机地发生频繁波动,因而较大的输出功率波动率会造成其性能衰退,服役寿命较短,耐久性较差等问题^[29]。目前,为提升PEMFC系统耐久性,实际过程中主要通过平滑其功率波动率,进而改善其服役性能^[29]。

本文通过检测PEMFC输出功率波动率以间接衡量对其耐久性的满意程度高低。图7为基于滞环决策的PEMFC系统耐久性满意度 δ ₁判断方法,取

图7 基于滞环决策的满意度函数 δ ₁判断方法 Fig. 7 Satisfaction function δ ₁ based on hysteresis optimization

相邻两点输出功率的偏差\(|\Delta {{P}_{\text{FC}}}|\ =\ |\Delta P_{\text{FC}}^{k+1}-\Delta P_{\text{FC}}^{k}|\),并设置系统的最大功率波动率为 κ,即相邻两点输出功率的偏差不允许超过 | ΔP_FCmax | = κ • Δt。

定义 | ΔP_FC |  [0, κ • Δt]为满意区间,当 | ΔP_FC |落于这一区间时,令PEMFC系统耐久性满意度δ ₁ = 1;定义 | ΔP_FC |  [κ • Δt, ]为失控区间,当| ΔP_FC | 落于这一区间时,令PEMFC系统耐久性满意度 δ ₁ = 0。即基于滞环决策得到的满意度函数为

\({{\delta }_{1}}=\left\{ \begin{align} 1,0<\ |\Delta {{P}_{\text{FC}}}|\ <\kappa \cdot \Delta t \\ 0,\kappa \cdot \Delta t<\ |\Delta {{P}_{\text{FC}}}|\ <+\infty \\ \end{align} \right.\) (8)

图7为基于滞环决策的满意度函数 δ ₁判断方法示意图。当系统处于t = k时刻时,燃料电池输出功率为P^k_FC;当系统进而处于t = k  1时刻时,认为燃料电池输出功率可能处于\(P_{\text{FC1}}^{k+1}\)\(P_{\text{FC2}}^{k+1}\)\(P_{\text{FC3}}^{k+1}\)这3个状态,其中由P^k_FC转移至\(P_{\text{FC1}}^{k+1}\)、\(P_{\text{FC2}}^{k+1}\)而引起的功率波动率超过了预先设置的系统最大功率波动率 κ,因此认为系统此时失控,不满足满意度要求;而由P^k_FC转移至\(P_{\text{FC3}}^{k+1}\)而引起的功率波动率在预先设置的系统最大功率波动率 κ 范围内,因此认为系统此时达到了满意度要求。

此外,本文通过检测锂电池输出电流值间接衡量对锂电池耐久性的满意程度高低。同理,基于滞环决策对锂电池耐久性满意度 δ ₂进行设定,并按照前文对锂电池的介绍,设定其最大输出电流 θ 和最大充电电流ε,定义I_BAT  [ν, θ ]为满意区间,当I_BAT落于这一区间时,令锂电池耐久性满意度 δ ₂ = 1;定义I_BAT  [-, ε]  [θ, ]为失控区间,当I_BAT落于这一区间时,令锂电池耐久性满意度 δ ₂ = 0。

\({{\delta }_{2}}=\left\{ \begin{align} 1,\upsilon <{{I}_{\text{bat}}}<\theta \\ 0,-\infty <{{I}_{\text{bat}}}<\varepsilon \text{ }\text{ }\theta <{{I}_{\text{bat}}}<+\infty \\ \end{align} \right.\) (9)

综上所述,定义综合满意度函数 γ：

\(\gamma =\left\{ \begin{align} 1,{{\delta }_{1}}+{{\delta }_{2}}>0 \\ 0,{{\delta }_{1}}+{{\delta }_{2}}=0 \\ \end{align} \right.\) (10)

2.4 滞环决策的优化无解问题及改进方法

受到车载动力系统输出功率剧烈波动的影响,引入多个基于滞环决策的耐久性满意度函数易造成优化无解问题的产生,即逐级优化控制至第二层时提前结束,表现为优化至此层时已无符合综合满意度要求的负荷功率分配方案。

产生优化无解问题的原因为：在实际车辆中随时有剧烈的需求功率激增或激减的情况,若需求功率极大/极小,超过了满意/失控边界所限定的动力系统极限能力,则必然存在车辆的动力系统即使按照极限能力输出也依然无法满足需求功率的问题;而此时如果动力系统强行输出,即使满足了需求功率,但综合满意度也必然降低至0,不满足耐久性的要求。因此,在该优化控制问题中不能够使用基于滞环决策的满意度函数。

为避免优化无解问题的产生,根据上述的车载动力系统的特性,引入基于模糊决策的满意度判断方法,即不明确设定满意/失控的分界点,而用多段分段函数表征满意度的变化情况。图8对比了基于滞环和模糊决策的PEMFC系统耐久性满意度 δ ₁判断方法。两者的本质区别在于,基于滞环决策的方法采用了非1即0的判断方法,当燃料电池输出功率的波动处于限制的最大值范围内,认为满意度为1,否则即为0;而基于模糊决策的方法则设置满意度函数根据燃料电池输出功率的波动而缓慢下降,并以多个分段点为界,以一次或二次分段函数表征满意度函数的变化。该方法可以有效减少功率波动率对综合满意度函数的影响,以消除优化无解情况的出现。

图8 基于滞环和模糊决策的满意度函数 δ ₁对比 Fig. 8 Comparison of satisfaction function δ ₁ based on hysteresis and fuzzy decision

图8中模糊决策曲线上 | ΔP₁ |、| ΔP₂ |、| ΔP₃ |这3点分别为3个设置的转折点,而k₁、k₂、0这3点分别为3个转折点对应的满意度值。

基于模糊决策改进的PEMFC系统耐久性满意度 δ ₁函数和锂电池耐久性满意度函数 δ ₂为：

\({{\delta }_{1}}=\left\{ \begin{align} {{a}_{1}}|\Delta {{P}_{\text{FC}}}|+{{b}_{1}},0\le \ |\Delta {{P}_{\text{FC}}}|\ <\ |\Delta {{P}_{1}}| \\ {{a}_{2}}|\Delta {{P}_{\text{FC}}}|+{{b}_{2}},|\Delta {{P}_{1}}|\ \le |\Delta {{P}_{\text{FC}}}|\ <\ |\Delta {{P}_{2}}| \\ {{a}_{3}}|\Delta {{P}_{\text{FC}}}|+{{b}_{3}},|\Delta {{P}_{2}}|\ \le \ |\Delta {{P}_{\text{FC}}}|\ \le \ |\Delta {{P}_{3}}| \\ \end{align} \right.\) (11)

\({{\delta }_{2}}=\left\{ \begin{align} {{c}_{1}}{{I}_{\text{bat}}}+{{d}_{1}},{{i}_{1}}\le {{I}_{\text{bat}}}<{{i}_{2}} \\ {{c}_{2}}{{I}_{\text{bat}}}+{{d}_{2}},{{i}_{2}}\le {{I}_{\text{bat}}}<{{i}_{3}} \\ {{c}_{3}}{{I}_{\text{bat}}}+{{d}_{3}},{{i}_{3}}\le {{I}_{\text{bat}}}<{{i}_{4}} \\ {{c}_{4}}{{I}_{\text{bat}}}+{{d}_{4}},{{i}_{4}}\le {{I}_{\text{bat}}}<{{i}_{5}} \\ {{c}_{5}}{{I}_{\text{bat}}}+{{d}_{5}},{{i}_{5}}\le {{I}_{\text{bat}}}\le {{i}_{6}} \\ \end{align} \right.\) (12)

式中 | ΔP_j |( j = 1,2,•••, 3)、i_j( j = 1,2,•••, 6)分别为设置的转折点。

定义综合满意度函数 γ：

\(\gamma =\left\{ \begin{align} 1,0.5({{\delta }_{1}}+{{\delta }_{2}})\ge {{\sigma }_{1}} \\ 0,0.5({{\delta }_{1}}+{{\delta }_{2}})<{{\sigma }_{1}} \\ \end{align} \right.\) (13)

式中 σ ₁为设置的系统综合满意度,表征对混合动力系统中PEMFC燃料电池和锂电池耐久性综合满意度要求程度的高低。γ = 1表示二级优先层的控制目标达到了期望的综合满意度,即此时对应的功率分配结果[P_FC, P_BAT]应保留;若 γ = 0则表示二级优先层的控制目标未达到期望的综合满意度,即此时对应的功率分配结果[P_FC, P_BAT]应舍弃。

图9所示为修改满意度函数前后的优化无解情况对比图,其中标志位为0时,表示可以完成逐级优化控制;标志位为1时,表示出现了优化无解。由两图对比可知,由于采用了基于模糊决策的满意度函数,优化无解问题不再产生,保证了系统的稳定运行。

图9 优化无解问题产生情况 Fig. 9 State of no optimization solution

2.5 三级优先层

三级优先层对应的是燃料电池混合动力系统的最优控制,本文的研究对象为图1所示的燃料电池/锂电池实验车,该车辆的混合动力系统能量管理问题可转化为一个单自由度的控制问题^[30]。控制变量u(t)为PEMFC的输出功率,状态变量x(t)为锂电池的荷电状态SOC控制目标为单个控制周期内的氢耗量最小,即：

\(J=\min \int_{0}^{{{t}_{\text{f}}}}{{{C}_{{{\text{H}}_{\text{2}}}}}(x(t),u(t))\text{d}t}\) (14)

式中：C_H2为单个控制周期内的氢耗量,并与PEMFC输出功率呈线性关系;t_f代表控制的终止时刻。

系统状态方程为

\(S\dot{O}C=f(SOC,u(t),x(t))=-\frac{{{I}_{\text{bat}}}(SOC,u(t))}{{{Q}_{\text{bat}}}}\) (15)

其中：

${{I}_{\text{bat}}}=\frac{{{V}_{\text{oc}}}-\sqrt{V_{\text{oc}}^{2}-4{{R}_{\operatorname{int}}}{{P}_{\text{BAT}}}}}{2{{R}_{\operatorname{int}}}}$ (16)

式中：I_BAT代表锂电池充放电电流,并以正负分别代表放电与充电过程;P_BAT为锂电池充放电功率;R_int为电池充放电内阻;V_oc为电池的开路电压。

第三层优化的约束条件为上两级优先层所逐步缩小并限定的控制变量可行域,因此,为将带约束的求系统极小值的问题转化为无约束问题,根据庞特里亚金极小值原理(Pontryagin minimum principle),需构建Hamilton函数。

Hamilton函数的一般形式为

$H(x,u,\lambda ,t)=L(x,u,t)+\lambda f(x,u,t)$ (17)

该系统中,哈密尔顿函数为

$H(x,u,\lambda ,t)={{C}_{{{H}_{2}}}}(u)+\lambda S\dot{O}C$ (18)

式中 λ 为拉格朗日乘子,并有正则方程：

$\dot{\lambda }(t)=-\frac{\partial H(x,u,\lambda ,t)}{\partial SOC}=-\frac{\lambda (t)}{{{Q}_{\text{bat}}}}\frac{\partial {{I}_{\text{bat}}}}{\partial SOC}$ (19)

根据1.3节中实验结果所示,在SOC较小范围波动下,可忽略其对锂电池充放电内阻和开路电压的影响,故式(19)简化为

$\lambda (t)=\lambda ({{t}_{0}})={{\lambda }_{0}}$ (20)

另外,所要求取的每个控制周期内PEMFC最优输出功率,可通过求取式(15)的极小值而获得。

\(H({{x}_{\text{opt}}},{{u}_{\text{opt}}},\lambda ,t)=\underset{u\in R}{\mathop{\min }}\,H({{x}_{\text{opt}}},u,\lambda ,t)\) (21)

式中R为控制变量的容许可达集,即由二级优先层得到的可行域范围。

3 实验验证

本文采用如图10所示的实测工况,用来验证该燃料电池混合动力系统的性能以及所提SOPMP

图10 实验工况 Fig. 10 Driving cycle of test

方法的有效性以及优越性。工况全程共计1016s,峰值需求功率为7.66kW,最大制动回馈功率为3.2kW。

通过对满意优化函数的实验,得到全工况下满意度函数 δ ₁和 δ ₂的取值集合,如图11所示。

图11 满意度函数取值集合 Fig. 11 Value range of satisfaction function

在PMP方法中,拉格朗日乘子 λ 的选取直接影响了优化控制效果的优劣程度,因此需要根据优化目标,选取 λ ₀的最优取值。本文以全工况氢耗量最小为控制目标,根据对 λ ₀的迭代实验最终确定了λ ₀的最优取值。

λ ₀的迭代实验结果如图12所示,经251次迭代后 λ ₀取到了最优解,此时对应的目标函数取值为27.84,表示此时对应的全工况氢耗量取得最小值。

图13(a)为全工况下负荷需求功率、PEMFC和

图12 λ ₀迭代实验结果 Fig. 12 Iteration experimental results of λ ₀

图13 负荷需求功率、PEMFC和锂电池输出功率波形 Fig. 13 Power distribution of fuel cell hybrid system

锂电池输出功率波形,图13(b)为便于观察能量管理方法分配的细节效果,特展示了工况前300s的功率需求及分配情况。如图13所示,PEMFC充当动力系统的主要动力源,当系统需求功率发生剧烈变化时或当PEMFC输出达到最大功率时,锂电池作为辅助动力源承受剧烈波动或补充输出电能;当系统进行制动时,PEMFC首先降低输出功率,之后持续以最小功率输出,此时锂电池回收制动回馈能量,提高了系统的能量利用率。

将所提出的方法与传统PMP方法进行对比：在全公况下,用基于传统PMP的PEMFC最优输出功率P_fcopt-PMP与基于SOPMP的PEMFC最优输出功率P_fcopt-SOPMP做差,即得到如图14所示的PMP和SOPMP方法下PEMFC最优功率差值图。通过与需求功率曲线的比较可知,当需求功率迅速增加时,P_fcopt-PMP远大于P_fcopt-SOPMP;当需求功率迅速减小时,P_fcopt-PMP却远小于P_fcopt-SOPMP,因此说明所提的SOPMP方法在这些时刻均有效避免了PEMFC输出功率的剧烈波动,而转由锂电池承受,因此有利于延长PEMFC系统的使用寿命。

一般来说,PEMFC性能衰减主要是由其输出功率中的高频部分造成,因此本文采用Harr小波变换方法对两种方法下的PEMFC最优输出功率进行高低频分离,如图15所示,蓝色和红色分别代表基于传统PMP方法和基于SOPMP方法得到的最优

图14 两种方法下的PEMFC最优功率分配差值图 Fig. 14 Differences between two strategies

图15 两种方法下的PEMFC输出功率高频部分 Fig. 15 High-frequency part of fuel cell output based on harr wavelet transform

输出功率高频部分。从图中明显可以看出,SOPMP所引起的高频部分远远小于传统PMP方法,通过计算,二者标准差分别为28.35(SOPMP)和44.33 (PMP)。通过图14、15的对比说明,可以证明SOPMP可以更好地保护PEMFC免受剧烈的输出功率波动,有助于提升PEMFC的耐久性。

图16为传统PMP方法和SOPMP所得的氢耗量曲线,经计算可知,全工况下传统PMP氢耗量为34.77g,而SOPMP氢耗量为35.18g,与传统PMP策略相比,耗氢量多了约1.1%。在整个工况中分别取几段截选工况进行分析,可以发现在0~80s中,前66s时SOPMP的氢耗量要低于PMP的氢耗量,而之后66~80s时高于PMP氢耗量;类似的,在200~ 280s以及320~400s工况下,分别出现了两种方法的氢耗量交替较高的情况,由此说明所提SOPMP方法的氢耗量较大程度依赖于车辆工况,整体氢耗量近似等于PMP方法。

图16 两种方法下的氢耗量对比 Fig. 16 The hydrogen consumption of two strategies

计算量方面,本文使用运行时间来衡量计算量的大小。在同样的平台及环境下(CPU@2.5GHz,RAM@4GB),通过测试比较,运行PMP方法需要129.8084s,而SOPMP方法运行时间为118.2799s,说明SOPMP方法的计算量小于PMP方法。而复杂度方面,两者均只进行一层循环,循环体为调用函数对Hamilton函数寻最小值,为顺序结构,因此整体复杂度均为O(n)。

为更清晰地对比两种方法的优化控制效果等,将主要的参数指标列于表5中。

表5 两种方法下优化控制效果等的对比 Tab. 5 The optimal control results of two methods

综上所述,与传统PMP方法相比,所提SOPMP方法能够有效抑制PEMFC的高频输出,基于Harr小波的峰值仅为传统PMP方法的0.15倍,标准差为传统方法的63.95%,说明SOPMP方法可有效提升PEMFC耐久性,延长其服役寿命,且氢耗量与传统PMP接近,并依赖于工况,在全工况1016s下SOPMP方法氢耗量仅增加了约1.1%。同时,所提SOPMP方法也具有减小计算量的优化效果。

4 结论

本文针对燃料电池混合动力能量管理方法对于经济性和耐久性兼顾不足的问题,提出一种基于庞特里亚金极小值原理满意优化的燃料电池混合动力系统分层能量管理方法。该方法将负荷功率分配分层进行,第一层以系统硬约束为主体,得到所有满足需求功率要求的负荷功率分配组合;第二层中制定了基于模糊决策的满意度函数,并以系统的耐久性为目标,缩小了负荷功率分配组合可行域;第三层以经济性为控制目标,采用了基于庞特里亚金极小值原理的方法实现了对负荷功率唯一的有效分配。

本文以实验室FCV为对象,采用SOPMP方法实现了燃料电池混合动力系统的能量管理及负荷功率分配。实验结果表明,在氢耗量方面,SOPMP与PMP方法相近。另外,基于小波分析等方法的计算表明,SOPMP方法得到的Harr小波峰值仅为PMP方法的0.15倍,标准差为65.95%。说明SOPMP方法能够维持氢耗较低水平,有效减缓PEMFC输出功率波动率,提高PEMFC系统的耐久性,并起到延长PEMFC系统服役寿命的作用。此外,运行时间较PMP方法也有所缩短,说明计算量也得到了减小。因此,本文所提的SOPMP方法是一种有效且优化的方法。

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