0 引言

电磁轨道发射技术是利用脉冲大电流流过轨道和电枢时产生的极高安培力作为推力，使电枢和有效载荷在ms量级时间内加速至每秒几千米的发射方式。该技术具有载荷初速高、费效比高、安全性高、可控性好、隐蔽性好等优点，在军事、航天、科学研究等领域显示出巨大应用潜力，因此备受各国重视和支持^[1-4]。

目前，对导轨和电枢的温升和受力研究大多是独立开展的^[5-8]。电枢作为电磁轨道发射中将电能转化为动能的核心部件，其性能好坏直接影响发射效果^[9]，特别是电枢尾翼作为与轨道直接接触部分得到了大量研究，在电磁发射过程中其持续受到机械过盈力、摩擦力、电磁力等多种力的动态作用，且电流焦耳温升导致电阻率、比热容、屈服强度等材料特性动态变化，使电枢尾翼失效研究变得复杂，相关研究主要集中在两个方面：

一是在不考虑温升的情况下研究电枢尾翼受力：白春艳研究了3种不同形状的电枢在运动过程中的工作应力^[10-11]；童思远等人使用有限元方法计算了电枢受力，表明等效应力沿电枢臂长度方向呈梯度分布，并主要集中于枢轨接触面的上部，在此部位容易出现拉伸失效^[12]；Liu Shaowei等人通过电磁与结构耦合方法，将电磁分析计算得出的电磁力传递到结构分析中，得到400 kA电流情况下电枢轨道接触压力的分布，显示电枢转角处接触压力最大^[13]。

二是在不考虑受力的情况下研究电枢温升：Tucker和Toth根据实验数据编制了不同材料的“载流特征量(specific action to melt，SAM)”表格，可直接查表选择电枢材料^[14]；Marshall基于电枢静止的轨道发射试验测得铝合金电枢的SAM值为32 500 A²s/mm⁴，比Tucker和Toth给出的SAM值大25%，分析其原因可能是在脉冲电流流过时，构成电枢的铝导体热量传给轨道和聚碳酸酯电枢支架造成热量损失^[15]；He Li等人通过仿真计算，指出电枢尾翼转角处温度最高^[16]；Nearing和Huerta提出了电流“趋肤效应”对温度分布的影响，并给出了不考虑热扩散的熔化值^[17]；Johnson和Bauer仿真分析了温度对电阻增大的影响^[18]；Hsieh开发了三维拉格朗日有限元计算软件EMAP3D，实现了力场、热场和电磁场耦合作用下电枢温升的计算^[19]；高翔等人的仿真计算结果表明，高温主要集中在尾翼拐角处，且尾部温度高于头部，中部温度明显低于两端^[20]；Yao Jinming等人对电枢熔蚀过程的研究显示，随着电流增大，熔蚀从尾翼转角处两侧向中线逐步加深^[21]。

在实际发射过程中，电枢尾翼温度不断升高，材料性能发生变化，多种力共同作用，因此研究电枢尾翼在整个发射过程中的状态应综合考虑温度变化和多种受力情况。为给优化电枢设计和提高电磁轨道发射性能提供理论基础和技术支撑，本文通过理论推导、数值计算和试验的方法，研究了焦耳温升作用下电枢尾翼转角处受力过程。

1 电枢尾翼转角处受力的理论模型

电枢尾翼转角处(又称尾翼根部)在受电枢头部对尾翼的拉应力的同时，还受尾翼摩擦力和电磁力的作用，且随电流、摩擦系数等多种因素变化。另外，焦耳加热效应明显，屈服强度降低，结构容易失效，因此对电枢尾翼转角处进行应力分析计算就显得尤为重要。

1.1 电枢结构模型

为从理论上推导计算电枢尾翼转角处的应力，首先建立了如图 1所示的简化电枢结构模型。

图 1中d₀为尾翼根部厚度，d₁为尾翼长度，d₂为尾翼端部厚度，θ为尾翼倾角，各参数之间满足以下约束关系

$ {d_0} = {d_2} + {d_1}\tan \theta $

(1)

1.2 电枢单侧尾翼质量

根据图 1所示的电枢结构模型，计算电枢单侧尾翼的质量m为

$ m = \frac{{\rho Y{d_1}}}{2}\left( {2{d_2} + {d_1}\tan \theta } \right) $

(2)

式中：Y为y方向上电枢宽度；ρ为电枢材料密度。

1.3 电枢尾翼转角处受力分析

为研究电枢尾翼转角处横截面上的应力情况，根据图 1电枢结构模型给出电枢单侧尾翼受力示意图如图 2所示：在x方向上，电枢单侧尾翼受机械过盈力F_C，流过尾翼的电流I产生的电磁力F分量$ F\cos \theta $，以及轨道对尾翼的压力F_r。假设发射过程中轨道和电枢尾翼在x方向相对无运动，则上述3个力的合力为零。

在z方向上，电枢单侧尾翼受到摩擦力f，电磁力分量$ F\sin \theta $，以及尾翼转角处截面上电枢头部对尾翼的结构力F₀，3个力的合力使电枢尾翼沿z方向运动。下面对电枢在膛内静止、加速和减速等3种运动状态分别进行讨论。

1）$ 2f \geqslant {{L'{I^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{L'{I^2}} 2}} \right. } 2} $，电枢静止

该情况对应电枢启动阶段的静止状态，摩擦系数μ为静摩擦系数μ₀，整个电枢在z方向上的电磁力为$ {{L'{I^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{L'{I^2}} 2}} \right. } 2} $，因此电枢尾翼转角处的拉力为(假设电枢两侧尾翼受力均匀)

$ 2{F_0} = \frac{{L'{I^2}}}{2} - 2F\sin \theta $

(3)

其中，作用在单侧尾翼上的电磁力F可计算为

$ F = \frac{{L'{I^2}}}{2} \cdot \frac{{{d_1}}}{X} $

(4)

式中：X为x方向上电枢高度。将式(4)代入式(3)，除以尾翼截面积2d₀Y，得到电枢尾翼转角处的拉应力σ₀为

$ {\sigma _0}{\text{ = }}\frac{{L'{I^2}}}{{2{d_0}Y}}\left( {\frac{1}{2} - \frac{{{d_1}}}{X}\sin \theta } \right) $

(5)

电枢单侧尾翼上的摩擦力f为

$ f = {\mu _0}\left( {{F_{\text{C}}} + F\cos \theta } \right) = {\mu _0}\left( {{F_{\text{C}}} + \frac{{L'{I^2}{d_1}}}{{2X}}\cos \theta } \right) $

(6)

当电枢z方向上的电磁力大于摩擦力f时电枢将由静止转为运动，其临界条件为

$ \frac{{L'{I^2}}}{2} = 2f $

(7)

将式(6)代入式(7)，得到电流临界值为

$ {I_1} = 2\sqrt {\frac{{{\mu _0}{F_{\text{C}}}X}}{{L'\left( {X - 2{\mu _0}{d_1}\cos \theta } \right)}}} $

(8)

由式(8)可知，电枢由静止变为运动状态的电流值主要与静摩擦系数、过盈力、电枢高度、轨道电感梯度、电枢尾翼长度、电枢尾翼倾角等因素有关。

2）$ 2f < {{L'{I^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{L'{I^2}} 2}} \right. } 2} $，电枢加速运动

该情况对应电枢加速运动状态，这时摩擦系数μ为动摩擦系数μ₁，电枢尾翼单侧动摩擦力为

$ f = {\mu _1}\left( {{F_{\text{C}}} + F\cos \theta } \right) = {\mu _1}\left( {{F_{\text{C}}} + \frac{{L'{I^2}{d_1}}}{{2X}}\cos \theta } \right) $

(9)

电枢单侧尾翼所受的合力F_A等于电枢单侧尾翼质量m与加速度a₁的乘积

$ {F_{\text{A}}} = {F_0} + F\sin \theta - f = m{a_1} $

(10)

以电枢整体为研究对象，并结合式(9)，可得电枢整体加速度，同时也是电枢尾翼加速度a₁

$ {a_1} = \frac{{L'{I^2} - 4f}}{{2M}} = \frac{{L'{I^2}}}{{2M}} - \frac{{2{\mu _1}{F_{\text{C}}}}}{M} - \frac{{{\mu _1}L'{I^2}{d_1}}}{{MX}}\cos \theta $

(11)

式中M为电枢总质量。

将式(2)、(4)、(9)、(11)代入式(10)中，并整理得到转角处的拉力为

$ \begin{array}{l} {F_0} = f + m{a_1} - F\sin \theta = {\mu _1}{F_{\text{C}}}\left( {1 - \frac{{\rho Y{d_1}}}{M}\left( {2{d_2} + {d_1}\tan \theta } \right)} \right) + \hfill \\ \quad \quad \frac{{L'{I^2}{d_1}}}{{2MX}}({\mu _1}M\cos \theta - M\sin \theta - \hfill \\ \quad \quad {\mu _1}\rho Y{d_1}\left( {2{d_2}\cos \theta + {d_1}\sin{\theta} } \right) + \hfill \\ \quad \quad \frac{{\rho XY}}{2}(2{d_2} + {d_1}\tan \theta )) \end{array} $

(12)

对应电枢尾翼转角处的拉应力为

$ \begin{array}{l} {\sigma _1} = \frac{{{F_0}}}{{{d_0}Y}} = \frac{{{\mu _1}{F_{\text{C}}}}}{{Y{d_0}}}\left( {1 - \frac{{\rho Y{d_1}}}{M}\left( {2{d_2} + {d_1}\tan \theta } \right)} \right) + \hfill \\ \quad \quad \frac{{L'{I^2}{d_1}}}{{2MXY{d_0}}}({\mu _1}M\cos \theta - \sin \theta - \hfill \\ \quad \quad {\mu _1}\rho Y{d_1}\left( {2{d_2} + {d_1}\tan \theta } \right)\cos \theta + \hfill \\ \quad \quad \frac{{\rho XY}}{2}(2{d_2} + {d_1}\tan \theta )) \hfill \\ \end{array} $

(13)

3）$ 2f \geqslant {{L'{I^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{L'{I^2}} 2}} \right. } 2} $，电枢减速运动

该情况对应电枢减速运动状态，这时摩擦系数μ为动摩擦系数μ₁，假设电枢两侧尾翼受力均匀，对电枢头部进行受力分析可得

$ 2{F_0} - \left( {\frac{{L'{I^2}}}{2} - 2F\sin \theta } \right) = \left( {M - 2m} \right){a_2} $

(14)

以电枢整体为研究对象，并结合式(9)，可得电枢整体加速度，即电枢头部加速度为

$ {a_2} = \frac{{4f - L'{I^2}}}{{2M}} = \frac{{2{\mu _1}{F_{\text{C}}}}}{M} + \frac{{{\mu _1}L'{I^2}{d_1}}}{{MX}}\cos \theta - \frac{{L'{I^2}}}{{2M}} $

(15)

将式(2)、(4)、(15)代入式(14)并整理得电枢单侧尾翼转角处拉力为

$ \begin{array}{l} {F_0}{\text{ = }}\left( {\frac{{L'{I^2}}}{4} - F\sin \theta } \right){\text{ + }}\left( {\frac{M}{2} - m} \right){a_2}{\text{ = }} \hfill \\ \quad \quad {\mu _1}{F_{\text{C}}}\left( {1 - \frac{{\rho Y{d_1}}}{M}\left( {2{d_2} + {d_1}\tan \theta } \right)} \right) + \hfill \\ \quad \quad \frac{{L'{I^2}{d_1}}}{{2MX}}({\mu _1}M\cos \theta - M\sin \theta - \hfill \\ \quad \quad {\mu _1}\rho Y{d_1}\left( {2{d_2}\cos \theta + {d_1}\sin{\theta} } \right) + \hfill \\ \quad \quad \frac{{\rho XY}}{2}(2{d_2} + {d_1}\tan \theta )) \hfill \\ \end{array} $

(16)

对应电枢尾翼转角处拉应力为

$ \begin{array}{l} {\sigma _2}{\text{ = }}\frac{{{F_0}}}{{{d_0}Y}}{\text{ = }}\frac{{{\mu _1}{F_{\text{C}}}}}{{Y{d_0}}}\left( {1 - \frac{{\rho Y{d_1}}}{M}\left( {2{d_2} + {d_1}\tan \theta } \right)} \right) + \hfill \\ \quad \quad \frac{{L'{I^2}{d_1}}}{{2MXY{d_0}}}({\mu _1}M\cos \theta - M\sin \theta - \hfill \\ \quad \quad {\mu _1}\rho Y{d_1}\left( {2{d_2}\cos \theta + {d_1}\sin{\theta} } \right){\text{ + }} \hfill \\ \quad \quad \frac{{\rho XY}}{2}(2{d_2} + {d_1}\tan \theta )) \hfill \\ \end{array} $

(17)

对比式(13)与式(17)可知，两者的表达式完全一样，电枢尾翼转角处的应力与电枢加速或减速运动无关，主要与电流、摩擦系数、过盈力、电枢口径、电枢质量、尾翼倾角等参数有关。

当电枢由加速运动转为减速运动时，其临界条件为

$ \frac{{L'{I^2}}}{2} = 2f $

(18)

将式(9)代入式(18)，并整理得对应的电流临界值I₂为

$ {I_2} = 2\sqrt {\frac{{{\mu _1}{F_{\text{C}}}X}}{{L'\left( {X - 2{\mu _1}{d_1}\cos \theta } \right)}}} $

(19)

由式(19)可知，电枢由加速运动变为减速运动的临界电流值I₂主要与动摩擦系数、过盈力、电枢高度、轨道电感梯度、电枢尾翼长度、电枢尾翼倾角等因素有关。

以本团队常规发射试验的参数作为参考：电枢材料为6061铝合金，密度2.7×10³ kg/m³；流过电枢的理想电流波形见图 3，电流峰值为600 kA，电流上升率为4.91×10⁸ A/s，电流下降率为–1.69×10⁸ A/s。

图 4给出了在图 3所示电流作用下，电枢尾翼转角处的应力随时间变化情况，图中应力曲线都大于零，说明在发射过程电枢尾翼转角处一直受拉应力。随着拉应力不断增大，当应力达到2.37 MPa即0.18 ms时产生一个回调抖动，对应的是电枢由静止变为运动，即静摩擦变为动摩擦。其中，电流最大值对应的拉应力最大值为31.84 MPa。

2 焦耳温升理论模型

由于电磁轨道发射过程极短，一般在ms级，通常可忽略热传导、辐射、对流和摩擦等因素，将电枢发射过程看作绝热过程，即脉冲电流在电枢上产生的焦耳热全部被电枢吸收转化为电枢的温升。以dt时间内电流$ I $导致电枢微元$ ls $温升dT为研究对象，同时考虑电阻率和比热容随温度的变化得到

$ \int {c\rho ls{\text{d}}T} = \int {{I^2}{\rho _R}\frac{l}{s}{\text{d}}t} \Rightarrow \int {\frac{{c\rho }}{{{\rho _R}}}{\text{d}}T} = {\int {\left( {\frac{I}{s}} \right)} ^2}{\text{d}}t = {\int i ^2}{\text{d}}t $

(20)

式中：$ {\rho _R} $为电枢材料的电阻率；$ l $为电流$ I $流过体积元的长度；s为垂直电流$ I $方向体积元的截面积；c为电枢材料的比热容；ρ为电枢材料的密度；i为垂直电流方向体积元截面上的电流面密度。下面分别对电阻率和比热容进行分析讨论。

1）电阻率

根据马希森定律^[22]，对于铝合金电枢材料，温度对电阻率的变化起主要作用，对于6061铝合金，电阻率(单位Ω·m)随温度(单位K)变化的工程经验公式为^[23]

$ {\rho _R} = \frac{{1{\text{ + }}0.003\;9\left( {T - 293.15} \right)}}{{2.506\;265\;664\;16}} \times {10^{ - 7}} $

(21)

从式(21)可知，电枢材料的电阻率与绝对温度成正比，随绝对温度升高而增加，即会加速电枢的温升速度。

2）比热容

6061铝合金的比热容是关于温度的函数^[23]，两者关系曲线如图 5所示。可见比热容在约300 K以下时随绝对温度的升高而快速增加，在300 K以上时随绝对温度的升高缓慢增加，即在一定程度上会延缓电枢的温升速度。

对比热容随绝对温度曲线进行多项式回归拟合，得到比热容(单位J·kg^–1·K^–1)随温度(单位K)变化的工程函数为

$ \begin{array}{l} c = - 195.371\;4 + 8.271\;24T - 0.025\;08{T^2} + \hfill \\ \quad \;4.051\;55 \times {10^{ - 5}}{T^3} - 3.341\;47 \times {10^{ - 8}}{T^4} + \hfill \\ \quad \;1.128\;14 \times {10^{ - 11}}{T^5} \hfill \\ \end{array} $

(22)

将式(20)、(21)和(22)进行联立计算，可以得到在指定电流波形下电枢温升随时间的变化情况。这里需要注意比热容随绝对温度变化曲线的绝对温度范围为18~804 K，即式(22)适用的绝对温度范围。

图 6给出了在图 3电流波形下考虑电阻率和比热容随温度变化与不变的对比曲线(假设电枢初始温度为293.15 K)，可以看出在初始阶段两条曲线基本重合，温度变化趋势基本相同；在电流焦耳加热作用下，当时间为1 ms、温度达到315.91 K时，两条曲线的变化趋势开始分离，考虑电阻率和比热容随温度变化情况的温升速度要快于不考虑电阻率和比热容随温度变化情况，当电流结束时不考虑电阻率和比热容随温度变化情况的电枢温度达到了542.27 K，考虑电阻率和比热容变化情况的电枢温度达到了714.00 K，两者的温度差达到了171.23 K。

3 探讨分析

金属微观组织的改变与温度作用时间相关，即当温度升高时，金属晶粒需要一定时间来发生变化，从而改变金属性能。由于目前尚没有这种在大脉冲电流ms级作用时间下，温升对金属材料性能影响的评估，且由于测量温度和金属性能的仪器响应速度比较慢，相关验证试验也很难开展。本文以图 7所示的6061铝合金材料抗拉屈服强度百分比(相对于室温抗拉屈服强度)随温度(华氏度)变化曲线簇^[24]中温度作用时间最短的1/2 hr(0.5 h)曲线为参考。在这个时间尺度下，理论上材料性能低于电磁轨道发射瞬时温升情况，因此用1/2 hr曲线进行计算分析是安全可靠的。

图 8给出了在电枢上加载560、580、600、620、640、660 kA等不同峰值电流时电枢尾翼转角处应力和铝合金抗拉屈服强度随绝对温度的变化情况，电流作用下的应力–温度曲线中应力随温度升高呈现出升高、保持、下降趋势，铝合金抗拉屈服强度曲线随温度升高逐渐降低。铝合金抗拉屈服强度曲线(图 8中1/2 hr曲线)处于620 kA和640 kA曲线之间，与620 kA曲线无交叉点，与640 kA曲线有1个交叉点，620 kA曲线距离1/2 hr曲线最近的点为(667.65 K，13.45 MPa)，640 kA曲线与1/2 hr曲线的交叉点为(655.24 K，16.84 MPa)，而铝合金(6061)的熔点温度为855.15~925.15 K。说明在620 kA与640 kA之间存在一个临界电流作用下的应力–温度曲线，正好与铝合金抗拉屈服强度曲线相切，当试验放电电流大于该临界电流时电枢尾翼转角处的应力大于铝合金抗拉屈服强度，导致电枢尾翼在未达到材料“载流特征量”时就发生断裂失效。

在电磁轨道发射试验中通过回收电枢的形貌观察到了上述现象，试验中使用的电枢尾翼根部厚度d₀为7.85 mm，尾翼长度d₁为26 mm，尾翼端部厚度d₂为3.5 mm，尾翼倾角θ为9.5°，试验采用的简单型发射器电感梯度为0.4×10^–6 H/m，脉冲电容器电源电容为110 mF，试验放电电压为3 188 V，得到如图 9所示峰值617 kA的电流波形和峰值339V的膛尾电压波形。

图 10为发射试验前后电枢两侧尾翼形貌照片，可见试验后两侧尾翼都存在明显的断裂缝，位于尾翼中间位置，与转角处位置基本一致，其中一侧尾翼断裂缝长度达到约7 mm。图 11给出了采用韦林MVIQBSCSYS-PM6160工业内窥镜测量2个收缩断裂缝得到的剖面图，其深度分别达到了0.79 mm和0.92 mm，宽度分别达到了0.92 mm和1.50 mm，宽深比分别为1.16和1.63，符合拉伸收缩断裂特征，其主要原因是由于电枢尾翼转角处在应力作用下的拉伸收缩引起的，该现象与前面理论分析得到的电枢尾翼在未达到材料“载流特征量”时就发生了断裂失效的结论基本相符。

4 结论

1）基于电枢静止、加速和减速的状态理论模型，给出了电枢尾翼转角处应力变化曲线。该曲线显示，在应力上升沿存在一个明显的回调波动，对应电枢由静止状态变为运动状态。

2）对于6061铝合金材料，在相同电流波形作用下考虑与不考虑电阻率和比热容随温度变化情况时得到的温升差值较大。如，在设定峰值为600 kA的电流波形作用下，最大温升差值达171.23 K。

3）通过计算分析和试验验证发现，在发射过程中存在电枢电流还未达到材料“载流特征量”时，电枢尾翼转角处应力就大于材料屈服强度导致尾翼断裂失效的情况。