0 引言

交流配电网中接入光伏、储能、电动汽车等直流分布式能源,使得其谐波治理、控制保护系统等面临许多新的挑战。而在直流配电网中接入分布式能源,能够降低换流器的投入成本和系统谐波,研究人员对直流配电网及其保护与故障选线方法进行了研究^[1-4]。

传统交流配电网故障选线主要分为：外加注入信号法和故障电气量变化特征分析法。但已有的故障选线方法的实际效果并不理想,其主要原因包括小电流接地系统故障特征不明显、故障电弧、随机因素等(如配电网运行方式多样)^[5]。

研究人员针对这些问题进行了深入研究,比如：文献[6]研究了电弧放电的稳态和暂态过程,提高故障选线灵敏度;文献[7-10]研究了多判据融合的综合故障选线方法;并引入现代信号处理技术(包括小波分析、Prony算法、希尔伯特-黄变换、S变换);文献[11]利用大量馈线终端单元的信息,给出了配电网线路开关的状态矩阵,并结合线路拓扑结构进行故障选线。

直流配电网的基本拓扑有辐射型、手拉手型和环型。对于辐射型的直流配电网,由于其拓扑简单,所以其故障选线和保护配置简单;对于手拉手型和环型的直流配电网,其与传统交流配电网一样存在多个分支节点,但也没有安装大量馈线终端单元,所以其故障选线的难度较大^[12-13]。

目前尚无人员对含支节点的直流配电网的故障选线的理论和方法进行研究。仅有的对直流配电网线路故障测距的研究中,将线路等效为RL模型,计算出线路单端或双端暂态量关于故障距离的解析表达式,求解故障距离,但此方法无法辨识连接在同一支节点上的不同分支线路^[14-16]。若使用传统的行波法在直流配电网中求取故障距离,则由于直流配电网线路短,行波在配电线路中折反射现象严重,导致其故障测距误差大。

文献[17-19]提出了基于电磁时间反转(electromagnetic time reversal, EMTR)理论的故障测距方法。该方法利用线路故障处是系统电磁能量变化最大处的特点,在系统的镜像空间中通过搜索法求出该故障点。基于暂态量反演计算理论和基于行波理论的传统测距方法仅能计算故障距离。而基于电磁时间反转理论的测距方法能够在镜像线路中反映电磁能量差异的分布,这为不同故障线路的辨识提供了保障;同时,该理论还能通过改变镜像空间的相位系数来修正能量差异分布,这为支节点附近的不同故障线路的辨识提供了保障。

基于电磁时间反转理论,为了充分利用现有直流配电网中各分布式能源处互感器所采集的数据、精确地辨识分支线路,本文拟提出一种修正镜像线路中电磁能量分布的故障选线方法,通过理论分析证明了该方法的正确性,并通过直流配电网的故障仿真数据验证了该方法的可行性和准确性。

1 故障选线基础理论

1.1 基于EMTR 的区内双端故障测距理论

分布式参数(电阻、电导、电感、电容分别为R、G、L、C)的单根线路的两侧有电压、电流测量点,且分别记为测量点M和N。在距离线路测量点M的L₁处或距离线路测量点N的L₂处发生接地故障,其故障附加网络如图1(a)所示,其中U_F为故障附加电压源;I_F1和I_F2分别为在故障处流向线路M侧和N侧的电流;I_M和I_N分别为测量点M和N处所测电流,电流方向如图所示;o、x分别为求解线路长线方程的初始点和终点。基于电磁时间反转理论的故障测距证明步骤如下：

第1步：图1(a)中线路两侧电流前行波的理论表达式为：

式中：I_Mf和I_Nf分别为线路M侧和N侧的电流前行波;Z_C为线路波阻抗;γ为线路传播系数;α为衰减系数;β为相位系数;\(\omega \)为系统的角频率。

第2步：将图1(b)中线路电阻、电导、电感、电容分别设置为0、0、-L_set、-C_set,并使得\(\beta =\sqrt{{{L}_{\text{set}}}{{C}_{\text{set}}}}\),则此线路称为无损镜像线路。图1(b)中,L_T为线路总长度;L_Z为假设故障点与线路测量点M之间的距离;\(I_{\text{Z}}^{*}\)为假设故障点处的故障电流值;\(I_{\text{Mf}}^{*}\)和\(I_{\text{Nf}}^{*}\)分别为频域前行电流I_Mf和I_Nf的共轭复数(时域中的时间反转即为频域中的共轭^[17]);\(I_{\text{MZ}}^{*}\)

和\(I_{\text{NZ}}^{*}\)分别为从M侧和N侧流入故障点的频域前行电流。上标‘*’代表频域中的共轭复数,下文同理。

图1 线路的EMTR理论的证明 Fig.1 Justification for EMTR theory of loss line

建立无损镜像线路不是将真实线路考虑为无损线路,而是利用真实线路中的电流量在另外一个线路空间(无损镜像线路)中求解故障距离。

第3步：在无损镜像线路两侧并联电流源,在忽略图1(b)中的反射波的前提下,计算假想故障L_Z处的故障电流的模,其表达式如下

\(\begin{align}& \left| I_{\text{Z}}^{*} \right|=\left| I_{\text{MZ}}^{*}+I_{\text{NZ}}^{*} \right|=\left| I_{\text{Mf}}^{*}{{\text{e}}^{-\text{j}\beta {{L}_{\text{Z}}}}}+I_{\text{Nf}}^{*}{{\text{e}}^{-\text{j}\beta \left( {{L}_{\text{T}}}-{{L}_{\text{Z}}} \right)}} \right|= \\& \quad \quad \left| \left( {U_{\text{F}}^{*}}/{Z_{\text{C}}^{*}}\;+I_{\text{F1}}^{*} \right){{\text{e}}^{-{{\gamma }^{*}}{{L}_{1}}}}{{\text{e}}^{-\text{j}\beta {{L}_{\text{Z}}}}}+ \right.\text{ } \\& \left. \quad \quad \left( {U_{\text{F}}^{*}}/{Z_{\text{C}}^{*}}\;+I_{\text{F2}}^{*} \right){{\text{e}}^{-{{\gamma }^{*}}\left( {{L}_{\text{T}}}-{{L}_{1}} \right)}}{{\text{e}}^{-\text{j}\beta \left( {{L}_{\text{T}}}-{{L}_{\text{Z}}} \right)}} \right| \\\end{align}\) (3)

第4步：证明当且仅当L_Z=L₁时,\(\left| I_{\text{Z}}^{*} \right|\)取最大值。令

\(\left\{ \begin{align}& {U_{\text{F}}^{\text{*}}}/{Z_{\text{C}}^{\text{*}}}\;\text{+}I_{\text{F1}}^{\text{*}}\text{=}\left| I_{\text{M+}}^{\text{*}} \right|{{\text{e}}^{\text{j}{{\theta }_{\text{1}}}}} \\& {U_{\text{F}}^{\text{*}}}/{Z_{\text{C}}^{\text{*}}}\;\text{+}I_{\text{F2}}^{\text{*}}\text{=}\left| I_{\text{N+}}^{\text{*}} \right|{{\text{e}}^{\text{j}{{\theta }_{\text{2}}}}} \\\end{align} \right.\) (4)

式中：\(\left| I_{\text{M+}}^{\text{*}} \right|\)和θ₁分别为复数\(\left( {U_{\text{F}}^{\text{*}}}/{Z_{\text{C}}^{\text{*}}}\;\text{+}I_{\text{F1}}^{\text{*}} \right)\)的模和幅角;\(\left| I_{\text{N+}}^{\text{*}} \right|\)和θ₂分别为复数\(\left( {U_{\text{F}}^{\text{*}}}/{Z_{\text{C}}^{\text{*}}}\;\text{+}I_{\text{F2}}^{\text{*}} \right)\)的模和幅角。则式(3)可表示为

\(\begin{align}& \left| I_{\text{Z}}^{*} \right|=\left| \left| I_{\text{M+}}^{\text{*}} \right|{{\text{e}}^{\text{j}\left( \beta {{L}_{\text{1}}}-\beta {{L}_{\text{Z}}}+{{\theta }_{\text{1}}} \right)}}{{\text{e}}^{-\alpha {{L}_{\text{1}}}}}+ \right. \\& \text{ }\quad \quad \left. \left| I_{\text{N+}}^{\text{*}} \right|{{\text{e}}^{\text{j}\left( -\beta {{L}_{1}}+\beta {{L}_{\text{Z}}}+{{\theta }_{2}} \right)}}{{\text{e}}^{-\alpha \left( {{L}_{\text{T}}}-{{L}_{1}} \right)}} \right| \\\end{align}\) (5)

式(5)在βL₁-βL_Z+θ₁= -βL₁+βL_Z+θ₂+2nπ(n为整数)时取最大值,即

L_Z=L₁+(θ₁-θ₂)/β+nπ/β(6)

考虑两种实际情形简化式(6)：

①对于初始前行电流,I_F1=I_F2,所以θ₁=θ₂。

②实际滤波后的初始前行电流为一频段分量,设该频段范围为\(f\in \left[ {{f}_{\text{L}}}\text{,}\ {{f}_{\text{H}}} \right]\),则可对式(5)进行积

分,所得函数表示为\(\int_{{{f}_{\text{L}}}}^{{{f}_{\text{H}}}}{\left| I_{\text{Z}}^{*}\left( f \right) \right|}\)。假设\(\max \left( \int_{{{f}_{\text{L}}}}^{{{f}_{\text{H}}}}{\left| I_{\text{Z}}^{*}\left( f \right) \right|} \right)\)存在除L_Z=L₁以外的其他解

(L_Z=L₁+nπ/β,n为非0整数),则对任意的\(f\in \left[ {{f}_{\text{L}}}\text{,}\ {{f}_{\text{H}}} \right]\),都有

\(\begin{align}& {n\left( {{f}_{\text{L}}} \right)}/{\beta \left( {{f}_{\text{L}}} \right)}\;={n\left( {{f}_{\text{L}}}+\Delta f \right)}/{\beta \left( {{f}_{\text{L}}}+\Delta f \right)}\;=\cdots = \\& \quad {n\left( {{f}_{\text{L}}}+\left( N-1 \right)\Delta f \right)}/{\beta \left( {{f}_{\text{L}}}+\left( N-1 \right)\Delta f \right)}\;= \\& {\quad n\left( {{f}_{\text{H}}} \right)}/{\beta \left( {{f}_{\text{H}}} \right)}\; \\\end{align}\) (7)

式中：\(n\left( {{f}_{\text{L}}} \right)\)和\(\beta \left( {{f}_{\text{L}}} \right)\)分别表示在频率f_L下能够使得式(7)成立的n值和β值;N为将频段\(\left[ {{f}_{\text{L}}}\text{,}\ {{f}_{\text{H}}} \right]\)等分的总数;\(\Delta f={\left( {{f}_{\text{H}}}{{f}_{\text{L}}} \right)}/{N}\;\)。由于n为整数、β为连续函数,故式\((7)\)无法取遍所有f,则

\(\max \left( \int_{{{f}_{\text{L}}}}^{{{f}_{\text{H}}}}{\left| I_{\text{Z}}^{*}\left( f \right) \right|} \right)\)不会存在多解的情形。

1.2 基于EMTR理论的区外双端故障测距理论

本小节将证明基于EMTR理论的区外双端测距理论的正确性。如图2所示,线路区外故障分为支节点连接的线路故障(如图2(a)所示)和线路末端所连接的线路故障(如图2(b)所示)。

对于图2(a)所示线路区外故障,将采用1.1节所示的证明方法。

第1步：线路两侧的电流前行波的理论表达式为

\(\left\{ \begin{align}& {{I}_{\text{Mf}}}=\left( {\left( {{U}_{\text{F}}}+{{I}_{\text{F}}}{{Z}_{\text{C}}} \right){{\text{e}}^{-\gamma {{L}_{3}}}}}/{\left( 2{{Z}_{\text{C}}} \right)}\;-{{I}_{\text{F2}}} \right){{\text{e}}^{-\gamma {{L}_{1}}}} \\& {{I}_{\text{Nf}}}=\left( {\left( {{U}_{\text{F}}}+{{I}_{\text{F}}}{{Z}_{\text{C}}} \right){{\text{e}}^{-\gamma {{L}_{3}}}}}/{\left( 2{{Z}_{\text{C}}} \right)}\;-{{I}_{\text{F1}}} \right){{\text{e}}^{-\gamma {{L}_{2}}}} \\\end{align} \right.\) (8)

式中：L₃为线路支节点与故障点的距离;I_F为故障附加电源U_F在故障点产生的故障前行电流。

第2步：同第1.1节第2步。

第3步：在忽略图1(b)中的反射波的前提下,计算假想故障L_Z处的故障电流的模,其表达式为

\(\begin{align}& \left| I_{\text{Z}}^{*} \right|=\left| I_{\text{MZ}}^{*}+I_{\text{NZ}}^{*} \right|=\left| I_{\text{Mf}}^{*}{{\text{e}}^{-\text{j}\beta {{L}_{\text{Z}}}}}+I_{\text{Nf}}^{*}{{\text{e}}^{-\text{j}\beta \left( {{L}_{\text{T}}}-{{L}_{\text{Z}}} \right)}} \right|= \\& \left| \left( \left( {U_{\text{F}}^{*}}/{Z_{\text{C}}^{*}}\;+I_{\text{F}}^{*} \right){{\text{e}}^{-{{\gamma }^{*}}{{L}_{3}}}}-2I_{\text{F2}}^{*} \right){{\text{e}}^{-{{\gamma }^{*}}{{L}_{1}}}}{{\text{e}}^{-\text{j}\beta {{L}_{\text{Z}}}}}+ \right. \\& \text{ }\left. \left( \left( {U_{\text{F}}^{*}}/{Z_{\text{C}}^{*}}\;+I_{\text{F}}^{*} \right){{\text{e}}^{-{{\gamma }^{*}}{{L}_{3}}}}-2I_{\text{F1}}^{*} \right){{\text{e}}^{-{{\gamma }^{*}}\left( {{L}_{\text{T}}}-{{L}_{1}} \right)}}{{\text{e}}^{-\text{j}\beta \left( {{L}_{\text{T}}}-{{L}_{\text{Z}}} \right)}} \right| \\\end{align}\) (9)

第4步：同1.1节第4步所述,采用滤波后的初始电流前行波,则式(9)取最大值时,L_Z=L₁,即EMTR方法认为线路支节点所连接线路发生故障等同于在支节点处发生故障。

对于图2(b)所示线路区外故障,将继续采用1.1节所示的证明方法。

第1步：设故障发生在与线路N侧连接的其他线路上,且故障距离线路与线路测量点N的距离为L₃,则线路L_T两侧的电流前行波的理论表达式为

图2 线路区外故障附加网络 Fig.2 Additional network after fault occurrence outside the line

\(\left\{ \begin{align}& {{I}_{\text{Mf}}}={\left( {{U}_{\text{F}}}+{{I}_{\text{F}}}{{Z}_{\text{C}}} \right){{\text{e}}^{-\gamma \left( {{L}_{\text{T}}}+{{L}_{3}} \right)}}}/{\left( 2{{Z}_{\text{C}}} \right)}\; \\& {{I}_{\text{Nf}}}={\left( {{U}_{\text{F}}}+{{I}_{\text{F}}}{{Z}_{\text{C}}} \right){{\text{e}}^{-\gamma {{L}_{3}}}}}/{\left( 2{{Z}_{\text{C}}} \right)}\; \\\end{align} \right.\) (10)

第2步：建立如图1(b)中所示的线路L_T的无损镜像线路,并将式(8)中的电流前行波取共轭并作为电流源并联在无损镜像线路两端。

第3步：在忽略图1(b)中的反射波的前提下,计算假想故障L_Z处的故障电流的模,其表达式为

\(\begin{align}& \left| I_{\text{Z}}^{*} \right|=\left| I_{\text{MZ}}^{*}+I_{\text{NZ}}^{*} \right|=\left| I_{\text{Mf}}^{*}{{\text{e}}^{-\text{j}\beta {{L}_{\text{Z}}}}}+I_{\text{Nf}}^{*}{{\text{e}}^{-\text{j}\beta \left( {{L}_{\text{T}}}-{{L}_{\text{Z}}} \right)}} \right|= \\& \left| \left( {U_{\text{F}}^{*}}/{Z_{\text{C}}^{*}}\;+I_{\text{F}}^{*} \right){{\text{e}}^{-{{\gamma }^{*}}\left( {{L}_{\text{T}}}+{{L}_{3}} \right)}}{{\text{e}}^{-\text{j}\beta {{L}_{\text{Z}}}}}+ \right.\left. \left( {U_{\text{F}}^{*}}/{Z_{\text{C}}^{*}}\;+I_{\text{F}}^{*} \right){{\text{e}}^{-{{\gamma }^{*}}{{L}_{3}}}}{{\text{e}}^{-\text{j}\beta \left( {{L}_{\text{T}}}-{{L}_{\text{Z}}} \right)}} \right|= \\& \left| \left( {U_{\text{F}}^{*}}/{Z_{\text{C}}^{*}}\;+I_{\text{F}}^{*} \right) \right|\left| {{\text{e}}^{-\alpha \left( {{L}_{\text{T}}}+{{L}_{3}} \right)}}{{\text{e}}^{\text{j}\beta \left( {{L}_{\text{T}}}+{{L}_{3}}-{{L}_{\text{Z}}} \right)}}+ \right.\left. {{\text{e}}^{-\alpha {{L}_{3}}}}{{\text{e}}^{\text{j}\beta \left( {{L}_{3}}-{{L}_{\text{T}}}+{{L}_{\text{Z}}} \right)}} \right| \\\end{align}\) (11)

式(11)取最大值时,L_Z=L_T,即EMTR方法认为线路末端所连接线路发生故障等同于在线路末端发生故障。

通过上述论证可知,当线路区外发生故障时,EMTR方法认为是区内线路与区外线路所连接点处发生故障或区外线路发生故障(因为在区外线路上的假想故障的故障电流等于在连接点处的假想故障的故障电流)。

1.3 基于EMTR理论的多端故障测距理论

配电网含有许多线路分支,存在多个线路支节点,将线路支节点分为两种：最大支节点和其余支节点;最大支节点即为所连线路分支数最大的节点,如图3所示,其中实线代表图1中的分布式参数的单根线路,方框点代表线路末端的测量点,圆点代表故障接地发生处。

根据上文所述,可以先求出图3中各个测量点\({{O}_{i}}\)处电流前行波理论值,记为\(I\left( {{O}_{i}} \right)\)(i=0,1,2,…,m),m为测量点的总数,i为测量点的编号;f₁为故障点,l_i(i=0,1,2,…,m)为支节点与测量点O_i间的距离。再将各处所测电流前行波取共轭,记为\({{I}^{*}}\left( {{O}_{i}} \right)\);最后在图3所对应的无损镜像线路中假想故障,在忽略反射电流的情形下,可求出假想故障l_Z处的故障电流有效值为

式中：\({{I}^{\text{*}}}\left( {{l}_{\text{Z}}} \right)\)为l_Z处的故障电流有效值;\(l\left( {{O}_{i}},{{l}_{\text{Z}}} \right)\)为测量点\({{O}_{i}}\)与\({{l}_{\text{Z}}}\)间的最短距离。

图3 多端故障测距理论的证明 Fig.3 Justification for fault location with multiple observers

根据1.1节和1.2节所述,式(12)中假想故障处的故障电流可写成两部分,第1部分为

\(\sum\limits_{i=2}^{n}{\left( {{I}^{*}}\left( {{O}_{1}} \right){{\text{e}}^{-\text{j}\beta l\left( {{O}_{1}},{{l}_{\text{Z}}} \right)}}+{{I}^{*}}\left( {{O}_{i}} \right){{\text{e}}^{-\text{j}\beta l\left( {{O}_{1}},{{l}_{\text{Z}}} \right)}} \right)}\),这表示用测

量点O₁和其余测量点的电流量两两进行故障测距,为区内双端故障测距;第2部分为

\(\sum\limits_{i=2}^{n-1}{\sum\limits_{j=i+2}^{n}{\left( {{I}^{*}}\left( {{O}_{i}} \right){{\text{e}}^{-\text{j}\beta l\left( {{O}_{i}},{{l}_{\text{Z}}} \right)}}+{{I}^{*}}\left( {{O}_{j}} \right){{\text{e}}^{-\text{j}\beta l\left( {{O}_{j}},{{l}_{\text{Z}}} \right)}} \right)}}\),这表示

用除测量点O₁外的其余测量点的电流量两两进行故障测距,为区外双端故障测距。由式(12)可得

\(\begin{align}& \left( n-1 \right)\max \left( \left| {{I}^{\text{*}}}\left( {{l}_{\text{Z}}} \right) \right| \right)\le \\& \max \left( \left| \sum\limits_{i=2}^{n}{\left( {{I}^{*}}\left( {{O}_{1}} \right){{\text{e}}^{-\text{j}\beta l\left( {{O}_{1}},{{l}_{\text{Z}}} \right)}}+{{I}^{*}}\left( {{O}_{i}} \right){{\text{e}}^{-\text{j}\beta l\left( {{O}_{1}},{{l}_{\text{Z}}} \right)}} \right)} \right| \right)+ \\& \max \left( \left| \sum\limits_{i=2}^{n-1}{\sum\limits_{j=i+2}^{n}{\left( {{I}^{*}}\left( {{O}_{i}} \right){{\text{e}}^{-\text{j}\beta l\left( {{O}_{i}},{{l}_{\text{Z}}} \right)}}+{{I}^{*}}\left( {{O}_{j}} \right){{\text{e}}^{-\text{j}\beta l\left( {{O}_{j}},{{l}_{\text{Z}}} \right)}} \right)}} \right| \right) \\\end{align}\) (13)

根据1.1节的结论,利用宽频初始前行电流进行故障测距,则当l_Z在实际故障点f₁时,式(13)不等式右边的第1部分取最大值;根据1.2节的结论,当假想故障点l_Z在支节点和l₁上时,式(13)不等式右边的第2部分取最大值。因为式(13)不等式右边的两部分都能够在f₁处取最大值,所以\(\left| {{I}^{\text{*}}}\left( {{l}_{\text{Z}}} \right) \right|\)可在f₁处取最大值,即式(12)的最大值在实际故障点f₁处。

综上,使用多个测量点进行故障测距时,测距结果有且仅有一个。

1.4 基于变相位系数-电磁时间反转的多端故障选线理论

根据上文所述,理论上,利用多端故障测距结果可进行故障选线;而在系统支节点附近故障特征相近,故障测距盲区较大。为了解决此问题,在图3线路对应的无损镜像线路中,针对每一段支路引入相对应的变相位系数(variable phase coefficient,VPC),若图1(b)中线路每一点的电感、电容都不同,则可将式(5)改写为

\(\begin{align}& \left| I_{\text{Z}}^{*} \right|=\left| \left| I_{\text{M+}}^{\text{*}} \right|{{\text{e}}^{\text{j}\left( \beta {{l}_{1}}-\int_{0}^{{{l}_{\text{Z}}}}{\beta \left( {{l}_{\text{x}}} \right)\text{d}{{l}_{\text{x}}}}+{{\theta }_{\text{1}}} \right)}}{{\text{e}}^{-\alpha {{l}_{\text{1}}}}}+ \right. \\& \text{ }\left. \left| I_{\text{N+}}^{\text{*}} \right|{{\text{e}}^{\text{j}\left( \beta \left( l-{{l}_{1}} \right)-\int_{l-{{l}_{_{\text{Z}}}}}^{l}{\beta \left( {{l}_{\text{x}}} \right)\text{d}{{l}_{\text{x}}}}+{{\theta }_{2}} \right)}}{{\text{e}}^{-\alpha \left( l-{{l}_{1}} \right)}} \right| \\\end{align}\) (14)

式中l_x表示假设故障点。

根据1.1节中式(5)最大值的求法,式(14)取最大值时,可得

\(2\beta {{l}_{1}}=\beta l-\int_{0}^{l}{\beta \left( {{l}_{\text{x}}} \right)\text{d}{{l}_{\text{x}}}}+2\int_{0}^{{{l}_{\text{x}}}}{\beta \left( {{l}_{\text{x}}} \right)\text{d}{{l}_{\text{x}}}}\) (15)

令\(\beta l\text{=}\int_{0}^{l}{\beta \left( {{l}_{\text{x}}} \right)\text{d}{{l}_{\text{x}}}}\),则式(15)可简化为：\(\beta {{l}_{1}}=\int_{0}^{{{l}_{\text{x}}}}{\beta \left( {{l}_{\text{x}}} \right)\text{d}{{l}_{\text{x}}}}\)。图4给出了每条分支线路l对应的无损镜像线路上,相位系数与线路长度之间的关系,且图中阴影部分的面积S₁=S₂。当0<l_g<l_a和l_b<l_g<l时(l_g为故障距离),计算所得故障测距结果在l_a~l_b之间;当l_a<l_g<l_b时,计算所得测距结果仍在该范围之内;特别地,当故障距离在线路末端和中心点处时,计算所得测距结果不会因变相位系数而改变。

因此,通过针对每条分支线路的长度,在其镜像线路中各自引入图4所示变相位系数时,只会使得各自线路支节点附近(即分支线路两侧)的故障测距结果向线路中点偏移,减小了支节点附近故障选线的盲区;但不会影响在相邻无损镜像支路上的假想故障的故障电流有效值。

2 故障选线算法

结合实际,基于VPC-EMTR的线路故障选线算法流程如下：

第1步：记录故障电流。该故障电流的记录初始时刻为系统正常运行时刻,记录终止时刻为系统保护动作时刻;一般直流系统线路保护动作要求在故障发生后10 ms内完成;本文选取时间窗为T=6 ms。

第2步：记各测量点O_j(j=1,2,…,n)正、负极电流分别为\(i_{j}^{\text{p}}\)、\(i_{j}^{\text{n}}\),则可根据式(12)求出其1模电流为

\(i_{j}^{1}\left( t \right)={\left( i_{j}^{\text{p}}\left( t \right)-i_{j}^{\text{n}}\left( t \right) \right)}/{\sqrt{2}}\;\) (16)

式中,\(i_{j}^{1}\left( t \right)\)为测量点O_j处记录的1模电流,且\(t\in \left[ 0,T \right]\)。

直流线路故障后,各测量点所测电流为畸变的阶跃信号;对阶跃信号进行小波分解,能够分解出

图4 相位系数与线路长度的关系 Fig.4 Phase coefficient versus to length of line

电流突变量信息,分解出的信号模值最大处即为初始电流行波;使用小波分解后,提取最高频段的信号,并对此信号进行时间反转,如下式所示

\(i_{j}^{\text{1wTR}}\left( t \right)=i_{j}^{\text{1w}}\left( T-t \right)\) (17)

式中：\(i_{j}^{\text{1w}}\left( t \right)\)为使用小波分解1模电流后所提取的高频分量;\(i_{j}^{\text{1wTR}}\left( t \right)\)为将\(i_{j}^{\text{1w}}\left( t \right)\)进行时间反转后的电流量;上标w表示小波分解;TR表示时间反转。

第3步：本文选取高斯分布函数作为变相位系数函数,可将相位系数与线路长度之间的关系定义如下

\(\beta \left( {{l}_{\text{x}}} \right)=a{{\text{e}}^{-\frac{{{\left( {{l}_{\text{x}}}-{l}/{2}\; \right)}^{2}}}{2{{\left( {l}/{6}\; \right)}^{2}}}}}\) (18)

式中：系数a由\(\beta {{l}_{\text{1}}}=\int_{0}^{{{l}_{\text{x}}}}{\beta \left( {{l}_{\text{x}}} \right)\text{d}{{l}_{\text{x}}}}\)计算所得;线路长度不同,系数a大小不同。

将变相位系数引入式(12),并将频域中的式(12)转化为时域表达式,则假想故障处的故障电流有效值为

\(\left| {{i}^{\text{*}}}\left( {{l}_{\text{Z}}} \right) \right|=\left| \sum\limits_{j=1}^{n}{i_{j}^{\text{1wTR}}\left( t-{\int_{{{O}_{j}}}^{{{l}_{\text{Z}}}}{{{\beta }_{\text{0}}}\left( {{l}_{\text{x}}} \right)\text{d}{{l}_{\text{x}}}}}/{\omega }\; \right)} \right|\) (19)

式中：\({\int_{{{O}_{j}}}^{{{l}_{\text{Z}}}}{{{\beta }_{\text{0}}}\left( {{l}_{\text{x}}} \right)\text{d}{{l}_{\text{x}}}}}/{\omega }\;\)为电流行波从测量点O_j流向假想故障处所需时间;\({{\beta }_{\text{0}}}\left( {{l}_{\text{x}}} \right)\)为任意故障点l_x处的相位系数。

第4步：求出\(\max \left( \left| {{i}^{\text{*}}}\left( {{l}_{\text{Z}}} \right) \right| \right)\),并得到相对应的故障测距结果,根据故障测距结果,即可给出故障线路。

第5步：根据故障选线结果,并结合事先设定的最少测量点个数,根据式(19)重新计算故障距离。最少测量点个数的选取原则如图5所示,在第4步选取故障线路后,若与该故障线路两侧连接的线路有k条,则再利用与这k条线路相连的k个观测点重新计算式(19)。

第6步：将最少测量点个数所计算出来的故障距离和故障线路作为最终故障选线结果。

3 仿真验证

图6给出了典型“手拉手”式直流配电网单线结构图网络。该直流配电网的电压等级为±10 kV,直流线路两侧通过两电平电压源型换流站与10 kV交流侧连接,并通过变压器接入110 kV交流电网;直流配电网有9条支路,每条支路长度为6 km,采用相域频变的仿真模型,其结构和电气参数见附录A;每条线路两侧都设置有直流断路器;系统共有3个支节点;此外,交流负荷通过两电平电压源型换流站接入系统,直流负荷、光伏发电单元通过隔离型DC/DC换流站接入系统;电动汽车充电单元和储能单元通过Buck-Boost DC/DC换流站接入系统。

交流侧变压器原边为中性点直接接地的星型接线方式,副边为三角型接线方式;两电平电压源型换流站的直流侧电容中性点直接接地,DC/DC换流站的配电线路侧大电容不接地。

设在线路L₅上发生金属性接地故障,故障距离T₂支节点0.15 km。下文将用图表的形式介绍故障选线的过程。如图7(a)所示,给出了线路各个测量点处的1模故障电流(用i₁—i₇表示),故障发生时间设置为0.45 s,采样频率为100 kHz,记录了0.447~0.453 s之间的故障电流。因为小波函数具有良好的时-频局部化特征,所以可以聚焦到信号的任何细节,能够很好地检测突变信号^[20-21]。根据文献[22-23]可知,Daubechies小波已广泛地应用于电力暂态信号的突变量检测中。因此如图7(b)所示,对4号测量点的故障电流i₄用‘db4’小波分解,分解层数为4层,提取第1层的小波分解值(即电流的高频分量)。如图7(c)所示,对图7(b)中的电流进行了时间反转,即对图7(b)中电流量的时间轴取反。

将其余测量点的1模电流同样进行图7(b)、(c)中的处理,并将所有的电流量(如图7(c))代入式(19),求得线路各处的假想故障的故障电流有效值。图8(a)给出了利用全部测量点计算得到的故障电流有效值,横坐标的间隔为0.05 km。该图的原点为测量点1,线路2和线路3的起始点为支节点T₁、即线路L₁的末端(长度为6 km处),其余有效值的作图规则照此依次得出。对于图8(a)中的线路L₅,有多个极值,这是由于图8(b)中的高频分量不仅含有初始电流前行波,还含有从系统各处反射到测量点的电流二次及二次以上前行波;但反射回来的前行波幅值小于故障初始电流前行波,所以线路L₅中有且仅有一个电流最大值。但此最大值所在处与理论故障处的偏差较大,出现在线路50%处。

使用最小测量点重新计算假想故障的故障电流有效值,表1给出了各个故障线路进行二次故障选线时,所需要的最少测量点的编号。

图8(b)给出了使用测量点2—5并结合式(15)计算所得的假想故障电流。从图中可以看出,因为线路L₁、L₈、L₉对于测量点2—5而言为区外故障线路,所以线路L₁、L₈、L₉上的故障电流有效值不变且数值等于区内线路连接点处的故障电流有效值,这与1.2节理论分析中结果一致。另外,因为测量点越少,受到交流侧注入谐波和线路中折反射电流的影响就越小,所以图8(b)中在线路L₅上的最大有效值所对应的故障距离(在线路的29.17%处)与理论计算值(线路的19.00%处)更为接近。

图5 最少测量点个数 Fig.5 Minimum observer numbers

图6 “手拉手”式直流配电网模型 Fig.6 Hand-in-hand DC distribution network

图7 故障选线过程量 Fig.7 Process of fault line selection

表1 最少测量点 Table 1 Minimum observer numbers

3.1 不同过渡电阻和故障类型

直流线路故障类型分为：单极接地故障(single line-to-ground fault, SLGF)、双极接地故障(double line-to-ground fault, DLGF)、极间短路故障(line-to-line fault, LLF)。

图9(a)—(c)给出了在线路L₆的中点发生4种不同故障时的假设故障电流有效值。从图9(a)—(c)中可以看出,线路L₆上的最大值在线路长度的50%处,符合1.3节中变相位系数应用的特点;另外,从图中可以看出在线路L₆上的假想故障的故障电

图8 故障选线结果 Fig.8 Results of fault line selection

流有效值波形基本相似,过渡电阻越大,故障电流有效值越小;这是因为过渡电阻越大,所测1模电流量突变量越小,即前行电流越小;因而,对于相同过渡电阻而言,极间短路故障所产生的前行电流比双极接地故障的更大。由于本文所提方法是基于电磁场能量变化进行故障选线,所以在同一位置处,不同的过渡电阻和故障类型不会影响故障选线的结果。

3.2 不同小波函数和采样频率

提取故障前行电流波是故障选线的基础,利用小波技术对故障电流进行分解,需要考虑两种因素：小波函数和采样频率的选取。

直流线路的暂态信号一般为连续信号,且具有高阶奇异性。在选择小波函数对该暂态信号分解时,需要考虑小波函数的正则性、消失矩阶数和紧支性。其中,消失矩阶数对奇异信号分解效果的影响最大,具有低阶消失矩的小波不易检测高阶奇异点,而具有高阶消失矩的小波很容易检测出高阶(以及低阶)奇异点^[24]。

为了能够体现本文所提方法的实用性,本文测试仿真了不同小波函数对故障选线结果的影响,小波函数的特征(包括消失矩阶数)见附录B。‘dmey’小波的消失矩为0,‘rbio2.2’小波的消失矩为2,’db4’小波的消失矩为4,‘coif3’小波的消失矩为6。

图9 不同故障的选线结果 Fig.9 Results of line selection for different faults

假设在每条线路的2.50%、50.00%和97.50%处发生单极接地故障(过渡电阻为100 Ω),则当采样频率为100 kHz时,使用4种不同小波函数得到的测距结果如表2和表3所示,其中l_d表示故障距离占线路总长的比例。小波函数的消失矩阶数越大,奇异信号越容易被分解。不同消失矩阶数的小波函数对奇异信号分解的效果不同,但当采样频率都为100 kHz时,利用4种小波函数的故障选线结果都准确,且标准方差都近似。这说明论文所提方法不需要特别选取某一小波函数对信号进行分解,该方法实用性更强。

线路中点发生故障后的测距结果的标准方差小于在线路两侧发生故障后的测距结果的标准方差。这是因为越接近支节点,其故障特性与相邻正常线路的故障特性越相近,测距结果的波动也会越大。

此外,在线路支节点发生故障后,其测距结果如表2和表3所示。如表2,当故障发生在T₁节点时,基于db4小波的测距结果位于线路L₁的80.83%处;同理,如表3所示,当故障发生在T₃节点时,基于250 kHz采样频率的测距结果位于线路L₆的80.00%处。理论上,即使使用变相位系数后,测距结果也应该在支节点上,但故障选线总会定位到与该支节点相邻的线路上。所以,在故障选线后的线路检修中需要同时检修线路两侧。

理论上,通过设置变相位系数后,3种故障距离的故障测距结果应分别为19.00%、50%、81.00%。表3给出了在每条线路发生金属性双极短路故障后的故障选线结果。由表3可知,采样频率越高,故障测距结果与理论值越相近;但测距结果的标准方差没有随着采样频率的变高而减小。这是因为采样频率越高,能够获取的电流突变量的细节越多,但同时也会含有更多的谐波和干扰信息,降低准确率。

表2 使用不同小波函数的故障选线结果 Table 2 Results of fault line selection based on different wavelet functions

表3 使用不同采样频率的故障选线结果 Table 3 Results of fault line selection based on different sampling frequencies

4 结论

通过理论分析和仿真验证,得出以下结论：

1）理论上,利用EMTR方法进行区内故障测距时,镜像线路中假想故障的故障电流有效值在实际故障点处最大;进行区外故障测距时,镜像线路中区内外线路连接点处和区外线路上假想故障的故障电流有效值相等。

2）理论上,在镜像无损线路中使用高斯分布的变相位系数能减少配电网支节点附近的盲区。

3）基于VPC-EMTR的测距方法使得支节点附近的故障测距结果向线路中间偏移,故障选线结果准确且不受过渡电阻和故障类型影响;使用不同的小波函数不影响选线结果且该方法采样频率较低。

4）由于随着采样频率的增大,测距结果的波动并不一定降低,因此选择合适的采样频率、进一步减少故障盲区将是本文进一步研究的内容。

附录见本刊网络版(http://hve.epri.sgcc.com.cn/ CN/volumn/current.shtml)。

附录A

图A1 直流电缆几何参数 Fig.A1 Geometric parameters of DC cable

表A1 电缆电气参数 Table A1 Electrical properties for cable

附录B

表B1 不同小波函数的特征 Table B1 Properties for different wavelet functions

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