0 引言

大型油浸式变压器的绝缘状态是影响电力系统安全运行的重要因素之一^[1-3]。因此采用有效的方法及时检测绝缘的老化状态,对避免因绝缘问题引起停电事故具有重要意义^[4-6]。在诸多绝缘老化诊断方法中,时域介质响应法能有效揭示绝缘介质在缓慢极化过程中的特性变化,因此被广泛应用于大型电力变压器的绝缘状态诊断。

目前大部分学者通过介质响应函数建立等效电路模型,从中挖掘绝缘老化特征量与油纸绝缘极化特性间的内在联系。因此数学模型和参数辨识是评估油纸绝缘老化受潮状态的关键。然而,现有的函数建模与参数解析主要存在以下3个问题：1）现有的介质响应函数未能反映油纸绝缘介质的实际极化过程。如文献[7-8]中的介质响应数学模型是建立在假设偶极子松弛介质间不会相互作用的前提下,虽简化了计算但不够全面。2）现有的建模方法无法直观反映等效电路模型中极化支路数和极化类型。如文献[9-10]通过人为假定固定的支路数进行参数辨识,故这类寻优方法只是在数学上满足最优的结果,未能体现扩展德拜模型的物理意义。3）现有的介质响应参数辨识多采用智能算法,求解过程复杂且结果不唯一。如文献[11-12]将参数辨识过程转化为数学寻优问题,计算步骤繁琐,且未能体现介质响应的物理过程。

综上,将方根指数型衰减规律^[13]引入介质响应函数,使其更贴近实际极化过程。同时首次提出二次时域微分解析法应用于弛豫过程的分解,以确定实际极化支路数。并结合介质响应函数的数学特性,通过提取二次时域微分谱线的特征量,直接图解辨识出唯一的介质响应参数,使得辨识过程兼顾了数学解析的简便性和弛豫过程中物理意义的体现。

1 带线型因子的介质响应函数建模

变压器油纸绝缘系统包括绝缘油、隔板、撑条以及油隙等,这些介质的弛豫响应速度各不同,单一弛豫时间的RC等值电路不能反映复合介质的实际极化特性,因此本文采用多个弛豫时间的扩展Debye电路模型^[14-15],即多个RC支路并联的等效电路来分析油纸绝缘系统的复杂极化过程。扩展Debye模型的等效电路如图1所示,R_g代表绝缘电阻,C_g是工频下的几何电容;极化电阻R_i和极化电容C_i（i=1,2,…,n）串联的极化支路代表不同弛豫时间τ_i=R_iC_i的弛豫过程,n为等效电路模型中弛豫机构的项数,即极化支路数。

目前常用传统扩展Debye形式的介质响应函数来反映油纸绝缘系统的极化过程^[12],其表达式为

\(f\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{B}_{i}}{{\mathrm{e}}^{-t/{{\tau }_{i}}}}}\) (1)

式中B_i为第i个弛豫机构作用所占的比重。式(1)的介质响应函数是假设在偶极子松弛介质间不会相互作用的前提下获得的^[13],基于此数学模型计算的介质响应参数并不能真实反映复杂的极化过程。

大量的热释电弛豫数据表明,在不同情况下电介质分别具有随机弛豫和自由弛豫的特点。在外加电场下的极化称为随机弛豫,其极化特性可用exp(-t/τ)的形式来描述;而自由状态下的极化称为自由弛豫,其极化特性满足exp(-(t/τ)^1/2)的衰减形

式^[13]。再考虑到实际极化中扩散作用有可能部分制约弛豫过程,则衰减指数的方根将限制在1/2~1

图1 扩展Debye模型的等效电路 Fig.1 Dielectric response equivalent circuit based on extended Debye model

之间^[16]。综合考虑以上极化特点,弛豫过程将呈现非典型线型的方根指数衰减规律,其表达式为

\(f\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{B}_{i}}{{\mathrm{e}}^{-{{(t/{{\tau }_{i}})}^{{{\alpha }_{i}}}}}}}\begin{matrix}{{\alpha }_{i}}\in [\frac{1}{2},1] {} \\\end{matrix}\) (2)

式中方根指数α_i是微观动力学的线型因子,用于表征复合绝缘介质中不同速率的极化过程。非典型线型的介质响应函数可看作由n个弛豫机构的不同方根指数衰减项之和。线型因子α_i是改进介质响应函数建模的重点。对于复合绝缘介质,绝缘油是弱极性物质,而绝缘纸属于极性物质,二者建立极化、去极化过程的时间不同,反映在介质响应函数上就是油纸介质的线性因子α_i差别较大。对于绝缘情况不同的介质,内部结构会随着老化程度的不同而改变,老化产物会加剧相应介质极化过程的建立,线型因子α_i随之变化。相比于传统的介质响应数学模型,非典型线型的介质响应函数能直观反映不同绝缘介质间的极化速率。

去极化电流与介质响应函数之间具有简单的线性关系^[7,9],因此基于传统介质响应函数的去极化电流表i_d和改进的去极化电流\({{{i}'}_{\text{d}}}\)为：

\({{i}_{\text{d}}}(t)={{U}_{0}}{{C}_{0}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{B}_{i}}{{\mathrm{e}}^{-(t/{{\tau }_{i}})}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}{{\mathrm{e}}^{-(t/{{\tau }_{i}})}}}\) (3)

\({{{i}'}_{\text{d}}}(t)={{U}_{0}}{{C}_{0}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{B}_{i}}{{\mathrm{e}}^{-{{(t/{{\tau }_{i}})}^{{{\alpha }_{i}}}}}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}{{\mathrm{e}}^{-{{(t/{{\tau }_{i}})}^{{{\alpha }_{i}}}}}}}\) (4)

式中：C₀代表油纸绝缘的真空几何电容值;U₀为直流的充电电压;定义A_i=U₀C₀B_i为第i个机构的弛豫贡献系数。可见传统的去极化电流函数只包含了α_i=1情况下的随机弛豫现象,而改进的去极化电流函数所考虑的极化类型更全面。基于改进介质响应数学模型的去极化电流函数也可看作是由n个不同弛豫机构的方根指数衰减电流项叠加而成。

2 介质响应函数的参数解析

2.1 时域微分介电谱的数学分析

现对去极化电流曲线进行微分处理,欲将方根指数衰减的弛豫项相加转化为单峰值曲线的叠加过程,一次微分处理过程如下

\(\begin{align}F({{A}_{i}},t/{{\tau }_{i}},{{\alpha }_{i}})=-t\frac{\text{d}{{{{i}'}}_{\text{d}}}}{\text{d}t}= \\\quad \quad \sum\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}{{\alpha }_{i}}{{(t/{{\tau }_{i}})}^{{{\alpha }_{i}}}}{{\operatorname{e}}^{(-{{(t/{{\tau }_{i}})}^{{{\alpha }_{i}}}})}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}{{\varphi }_{i}}(t/{{\tau }_{i}},{{\alpha }_{i}})} \\微分处理过程如下\end{align}\) (5)

式中：F(A_i,t/τ_i, α_i)为一次时域微分谱函数,φ_i(t/τ_i, α_i) 为一次型的子谱线。若等效电路模型有n个极化支路数,则对应的一次时域微分谱线就由n条子谱线叠加。当α_i=1、τ_i=1时对应的谱线φ_i(t/1,1)见图2,分析可得：1）一次型子谱线φ_i(t/τ_i, α_i)是凸函数,在0<t<τ_i时,φ_i(t/τ_i, α_i)单调递增,而t>τ_i时,φ_i(t/τ_i, α_i)单调递减。2）当t=τ_i时,φ_i(t/τ_i, α_i)达到最大值φ_imax,且φ_imax (t/τ_i, α_i)=α_i/e。3）定义半高线是一次型子谱线函数值为0.5φ_imax (t/τ_i, α_i)时对应的时间宽度,则一次型子谱线的半高线为2.446/α_i,α_i决定谱线的波形。

一次型子谱线φ_i(t/τ_i, α_i)的半高线较宽,尤其当α_i=0.5时,谱线半高线将达到4.892,此时任意2条一次型子谱线叠加时,半高线宽且峰值大的子谱线将覆盖周围弱的子谱线,叠加后的一次微分时域谱线将出现峰值点覆盖现象,见图3。在此情况下,将无法直接从时域微分谱线中读取局部峰值点个数来判断子谱线的数目。

为解决峰值点覆盖的问题,继续对去极化电流进行二次微分处理,得到二次时域微分谱函数为

\(\begin{align} G({{A}_{i}},t/{{\tau }_{i}},{{\alpha }_{i}})={{t}^{2}}\frac{{{\text{d}}^{2}}{{{{i}'}}_{\text{d}}}}{\text{d}{{t}^{2}}}= \\ \quad \quad \sum\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}{{\alpha }_{i}}(1-{{\alpha }_{i}}+{{\alpha }_{i}}{{(t/{{\tau }_{i}})}^{{{\alpha }_{i}}}}){{(t/{{\tau }_{i}})}^{{{\alpha }_{i}}}}{{\operatorname{e}}^{(-{{(t/{{\tau }_{i}})}^{{{\alpha }_{i}}}})}}}= \\ \quad \quad \sum\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}{{\psi }_{i}}({{\alpha }_{i}},\frac{t}{{{\tau }_{i}}})} \\\end{align}\) (6)

式中ψ_i(t/τ_i, α_i)为二次型子谱线。在α_i>0且τ_i>0的前提下,其函数性质和一次型子谱线类似,但二次型子谱线半高线更窄。当α_i=1时,半高线仅为0.737,远远小于一次型子谱线。因此邻近子谱线叠加就不易发生峰值覆盖问题,叠加后的二次时域微分谱线见图4。可见具有不同峰值、时间常数的时域子谱线经叠加后,在总的叠加谱线上出现3个波峰（在图中用短竖线标注）,这与实际的子谱线个数是相同的。由此可直接从二次时域微分谱线上的峰值点个数判断出其所含的极化支路数。

2.2 基于二次时域微分解析法的参数辨识

对于结构确定的绝缘系统,其扩展Debye模型中的时间常数也是确定的。大时间常数支路的二次

图2 一次型子谱线φ_i(t/1,1) Fig.2 Curve of first sub-line φ_i(t/1,1)

图3 一次型子谱线叠加图 Fig.3 Superimposed curve of first sub-line

图4 二次型子谱线叠加图 Fig.4 Superimposed curve of sub-line

型子谱线衰减慢,小时间常数支路的二次型子谱线衰减快。不同时间下,不同时间常数支路对二次时域微分谱线的贡献不同。在二次型微分谱线开始阶段,所有极化支路的子谱线都对其有贡献,但小时间常数支路的子谱线贡献最大,其峰值决定首端时域谱线的局部峰点;对于二次时域微分谱线的末端,小时间常数支路基本衰减至0,可以直接忽略其支路的作用,主要是大时间常数支路的子谱线起贡献作用,其峰值决定末端时域谱线的局部峰点。

在α_i>0且τ_i>0的前提下,二次型子谱线\({{\psi }_{i}}(x,{{\alpha }_{i}})={{\alpha }_{i}}(1-{{\alpha }_{i}}+{{\alpha }_{i}}{{x}^{{{\alpha }_{i}}}}){{x}^{{{\alpha }_{i}}}}\exp (-{{x}^{{{\alpha }_{i}}}})\)仍是一个单峰值的凸函数,通过数学分析可得ψ_i(x, α_i)的性质为：

1）当\(x=\frac{t}{{{\tau }_{i}}}={{(\frac{3{{\alpha }_{i}}-1+\sqrt{5{{\alpha }_{i}}^{2}-2{{\alpha }_{i}}+1}}{2{{\alpha }_{i}}})}^{\frac{1}{{{\alpha }_{i}}}}}\)时,二次

型子谱线达到最大值。2）以lgψ_i为纵坐标时,在x<<1时,二次型子谱线的斜率为α_i(α_i≠1)或2(α_i=1)。3）时间常数大的子谱线衰减缓慢,反之衰减的越快,故时间常数大的子谱线对二次时域微分谱线的末端贡献越大,反之贡献就越小,故对G(A_i, t/τ_i, α_i)谱线末端影响可忽略不计。

根据上述特性,对G(A_i, t/τ_i, α_i)横纵坐标同取对数,从谱线末端开始,读取末端局部峰值的初始斜率即可解出α_i,将局部峰值点(t_max, G_max)代入式(7),可直接解出τ_i和A_i,确定第1条子谱线A₁ψ₁(t/τ₁, α₁)。再由二次时域微分谱线扣除子谱线,继续按上述方法即可将剩余的子谱线依次解出。

\(\left\{ \begin{align} {{\tau }_{i}}={{t}_{\max }}/{{(\frac{3{{\alpha }_{i}}-1+\sqrt{5{{\alpha }_{i}}^{2}-2{{\alpha }_{i}}+1}}{2{{\alpha }_{i}}})}^{\frac{1}{{{\alpha }_{i}}}}} \\ {{A}_{i}}={{G}_{\max }}/({{\alpha }_{i}}{{({{t}_{\max }}/{{\tau }_{i}})}^{{{\alpha }_{i}}}}\exp (-{{({{t}_{\max }}/{{\tau }_{i}})}^{{{\alpha }_{i}}}})) \\\end{align} \right.\) (7)

因此基于二次型时域微分解析法的介电响应参数辨识流程如图5所示,该方法不仅从谱线直观判别极化支路数,而且能准确辨识参数。

3 辨识实例与参数验证

为了验证上述介质响应参数辨识的准确性,现

对1台220 kV电压等级、容量为180 MVA的变压器进行测试,外加充电电压设置为1 kV,充放电时间分别为5 000 s,测试温度为26 ℃,得到去极化电流曲线见图6。采用上述解析法进行参数辨识,得到二次时域微分谱线和子谱线见图7,可知该变压器的二次时域微分谱线共有5个局部峰值点,由此可推断出等效电路模型的极化支路数是5。

经过逐次分解可依次获得各个弛豫机构的特

征参数见表1。根据时间常数值可将支路分为3类：支路1（大时间常数支路,τ_i>100 s）表征绝缘纸的极化状态;支路2（中时间常数支路,1 s<τ_i <100 s）反映油纸绝缘界面的极化过程,支路3—5（小时间

图5 介质响应参数辨识流程图 Fig.5 Flow chart of dielectric response parameter identification

图6 某220 kV变压器去极化电流测试曲线 Fig.6 Depolarization current curve of one 220 kV transformer

图7 二次时域微分谱线和各子谱线 Fig.7 Second time-differential line and each sub-lines

表1 二次时域微分解析法辨识得的介质响应参数 Table 1 Parameters of dielectric response obtained by second time-differential analysis

常数支路,τ_i <1 s）反映绝缘油的极化过程^[17-18]。由表1可见,支路1的线型因子较小,仅为0.862 5,其极化速率较为缓慢。支路3—5的线型因子接近于1,极化速率较快。实际上绝缘纸中的纤维素属于极性分子,其极化属于缓慢极化过程,极化速率比弱极性的绝缘油更快,因此绝缘油支路的线型因子大于绝缘纸支路。通过分析各弛豫机构线型因子即可分别反映绝缘油、绝缘纸的不同极化速率。

为进一步验证改进介质响应数学模型准确性,将传统模型和改进模型下的计算结果进行对比。在默认α_i=1的情况下,传统的介电响应参数见表2。

将表1解得非典型线型的介质响应参数代入式(4)求取\({{{i}'}_{\text{d}}}\),并将表2求解的传统介电参数代入式(3)计算得到i_d,分别与测量的去极化曲线比较,如图8所示。可见\({{{i}'}_{\text{d}}}\)曲线与测试曲线基本一致,拟合度高达97.58%,而传统的i_d曲线拟合度只有88.56%。综上所述,采用改进介质响应数学模型的参数辨识结果更能有效反映油纸绝缘介质的实际弛豫过程。

在改进的介质响应模型中,各弛豫机构对去极化电流的贡献见表3。弛豫机构的极化过程不再是线型叠加,而是随时间变尺度衰减的。由于绝缘纸中的纤维素是极性大分子,极化完成的时间较长,因此表征绝缘纸极化的线型因子较小（α₁=0.862 5）,当其起主导作用时（t>1 s）,时间尺度将被拉伸,需要更长的时间完成去极化过程;而绝缘油属于弱极性分子,极化速率较快,线型因子相比于绝缘纸的大（α₃=0.928 4,α₄=0.942 1,α₅=0.928 4）,当绝缘油极化其主导作用时（t<1 s）,时间尺度将被压缩,在更短的时间即可完成极化过程。综上所述,基于改进介质响应模型的绝缘极化分析更贴近实际弛豫情况,且极化过程是非线性的,这为后续研究不同绝缘介质的缓慢极化和快速极化提供了新思路。

图8 计算去极化电流曲线与测试去极化电流曲线对比 Fig.8 Comparison of calculated depolarization curve and tested depolarization curve

表2 α_i=1时的传统介质响应参数辨识结果 Table 2 Parameters of traditional dielectric response obtained when α_i=1

表3 各极化支路的去极化电流 Table 3 Depolarization current of each polarization branch

4 结论

1）提出二次时域微分解析法用于分解去极化电流曲线弛豫过程,根据谱线中局部峰值的数目直观判断出极化支路数,解决了长期以来饱受争议的油纸绝缘等效电路模型中弛豫机构数的问题。

2）根据实际电介质的极化情况,引入线型因子改进介质响应数学模型,采用改进模型获取的去极化曲线与测试曲线符合度更高。

3）介质响应参数计算结果表明,油纸绝缘的极化过程不再是线型叠加,而是随时间尺度衰减。相比于绝缘纸,绝缘油线型因子更大,极化速率更快。

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