0 引言

在电磁发射技术领域中,电感梯度是指单位长度轨道的电感值,是电磁轨道发射器的重要参数之一^[1-3]。其值大小与发射器的结构、尺寸、轨道截面形状、材料等因素有关^[4-8]。增大电感梯度值可有效提高电磁发射效率和电枢动能^[9-10]。因此,电感梯度的计算对于发射器结构设计以及预测电枢的运动行为具有重要意义。

Kerrisk研究了电磁发射初期电感梯度的解析算法^[11]。在发射初期,磁场不能扩散到轨道内部,电流主要集中在轨道表面,与高频情况类似,Kerrisk方法的计算结果也被称为高频电感梯度或“Kerrisk L′”。Grover等研究了稳态时电感梯度的计算方法,即电流在轨道中完全扩散的情况,也被称为低频电感梯度^[12]。两种算法都以二维模型为基础,仅适用于轨道截面为矩形的情况,求解得到的电感梯度值为一个特定的数。实际的电磁发射实验为瞬态过程,不同的时刻,电流和磁场在轨道中的扩散程度是不一样的,因此,电感梯度值应为随时间变化的连续值。Batteh等提出了一种等离子体电枢电磁轨道发射器电感梯度的解析算法^[13]。但是,计算过程中忽略了轨道厚度的影响,也没有考虑电流的扩散行为。

近年来,随着数值方法的发展,学者们开始利用有限元等方法来计算电感梯度。Kim等人研究了电枢-轨道尺寸对电感梯度的影响^[14]。通过仿真模拟发射器的电磁行为,计算得到电枢上的驱动力,代入驱动力公式F = 0.5L′I²求出电感梯度,其中L′和I分别为发射器电感梯度和驱动电流值。Keshtkar等人在电感梯度计算方面做了大量研究,其中包括轨道尺寸、发射器结构、材料等对电感梯度的影

响^[4-5,15-16]。计算方法是通过在轨道上施加高频电流源来模拟电磁发射过程中的趋肤效应,得到的结果与Kerrisk的类似,并没有考虑电磁场的瞬态过程。国内也有类似的报道,聂建新等从Biot-Savat定律出发,将轨道表面的电流简化为电流排,推导得到了一种计算矩形口径发射器电感梯度的解析方法^[17],结果考虑了电枢高度h_a的影响。周媛等研究了不同轨道截面形状对电感梯度的影响^[18],其结果是建立在时谐激励下的,不符合实际情况。

该文从磁能的角度出发,利用磁能与电感的关系,推导出二维情况下电感梯度的表达式。通过求解瞬态磁场控制方程,得到了特定电流波形时轨道电流的扩散行为,进而求得电感梯度值随时间的变化规律。此外还分析了电流波形和电导率对电感梯度的影响。

1 理论分析

1.1 电感与磁能的关系

以单匝线圈为例,如图1所示,线圈中通有电流I,电感为L,则有^[19]

上式两端分别为单匝线圈磁能的2种不同的表达方式。式中：B为磁感应强度;V为整个空间的体积;μ为空气的磁导率。

电磁轨道发射器在工作过程中可看成是由轨道和电枢构成的线圈,如图2所示,自然满足式(1)。实际加载电流为I,是时间t的函数。为了与Grover和Kerrisk的结果进行比较,将3维模型简化为2维模型,如图3所示。只取矩形轨道截面进行研究,w为轨道厚度;h为轨道高度;s为两轨道间距离。认为轨道为无限长l,并忽略电枢的作用。将dV=ldS代入式(1)得

式中S为轨道截面求解区域。根据定义,L/l即为发

图1 通有电流的单匝线圈 Fig.1 Single coil with current

图2 电磁轨道发射器工作原理图 Fig.2 Principle of rail-type EML

图3 二维模型和边界条件 Fig.3 2-D model and boundary conditions

射器电感梯度L′,可得

1.2 磁场控制方程

利用(A-φ)法表示的瞬态情况下磁场控制方程为^[20]

式中：A为磁矢势;φ为电标势;σ为轨道电导率;J_s为源电流密度。

对于2维模型,A和J_s均只考虑轨道方向z轴的分量,由于没有考虑电枢的影响,所以方程中也没有写入速度项。式(7)为库伦规范,可以保证结果的唯一性。

电磁场仿真软件Ansoft-Maxwell的瞬态求解器可以求解电流源激励的瞬态电磁场问题。求解方程(4)—(7)可得到任意时刻磁场和电流的分布,将电磁场的求解结果代入式(3)可求得瞬态情况下的电感梯度值。

2 求解设置及结果分析

2.1 求解设置

考虑到模型的对称性,取1/4模型（图3虚线内）进行求解。求解区域边界条件如图3所示,空气域半径取轨道高度的20倍,可认为无穷远,A=0。y轴为两轨道对称轴,由于两轨道中电流大小相等,方向相反,且磁矢势A与电流同向,因此y轴上为A=0。磁场与x轴垂直,因此x轴上有∂A/∂y=0。模型尺寸取h=20 mm,w=10 mm,s=12 mm,σ=5.8×10⁷ S/m,μ=4π×10^-7 H/m。电流波形如图4所示,电流在0.5 ms时间内增长到最大值267 kA,0.5~3 ms期间电流为恒定值。目的是为了模拟电流扩散的整个过程,保证电流在发射初期的高频分布和后期的稳态分布,方便与Kerrisk与Grover的计算结果进行对比。

2.2 求解结果及分析

图5(a)—5(d)分别为t=0.1、0.5、1、3 ms时轨道截面电流密度的分布图。从图5(a)中可知,发射初期电流的趋肤效应明显,电流主要集中在轨道表面。由于初期磁场主要存在于空气中,向轨道内部扩散深度很浅,加之轨道之间空间较小,对磁场有很大的束缚作用,内侧的磁通密度梯度较外侧大,因此轨道内侧处电流密度也较大,与高频情况下电流分布类似^[11];与图5(a)相比,图5(b)中电流向内部扩散明显。受轨道内侧强磁场的影响,轨道内侧电流的扩散速度也比外侧更快。电流密度值为4×10⁸~ 3×10⁹ A/m²之间;由图5(c)、5(d)可知t=1 ms时,电流分布更加均匀。t=3 ms时,电流在轨道中

图4 电流波形 Fig.4 Crrent waveform

图5 不同时刻轨道截面的电流密度分布图 Fig.5 Distribution of current density in the rail cross section at different moments

的分布已经处于完全均匀状态。

分别用L_h′表示利用Kerrisk的算法求出的高频电感梯度值,L_l′表示利用Grover的算法求出的低频电感梯度值,L′(t)表示瞬态情况下的电感梯度值。图6为所选模型在图4所示电流激励下,结合方程(3)所计算的结果。

从图6中可知,瞬态情况下电感梯度值L′(t)大致为一条介于L_h′和L_l′之间的递增曲线。电流作用初期t = 0 ms,电感梯度值与L_h′非常接近;随后电感梯度值迅速增长,0.5ms后增长速度明显变缓并向L_l′靠近;t=3ms时,可近似认为电感梯度值等于L_l′。这是由于在电流作用初期,电流分布表现为强烈的趋肤效应现象（图5(a)）,与高频分布类似,此时的电感梯度值也与L_h′相当;0.5 ms之后,电流变为恒定值,且逐渐向轨道内部扩散,直到分布均匀,此时电感梯度值增长为L_l′。由此可见,电磁场的扩

图6 瞬态情况下的电感梯度曲线 Fig.6 Inductance curve under transient conditions

散程度是影响电感梯度值的重要因素之一。

求解时忽略了电枢高度h_a的影响,鉴于h_a对电感梯度的影响很小,可以忽略^[14,17]。因此,以上结果是合理的。

为验证结果适用于不同轨道尺寸,且方便与相应尺寸下的L_h′、L_l′对比,取max L′(t)为L′(t)的最大值,min L′(t)为L′(t)的最小值,L′(t)与L_h′、L_l′的对比可表示为max L′(t)与L_l′、min L′(t)与L_h′的对比。图7(a)—7(b)为s和w分别取不同值时,相应的max L′(t)与L_l′、min L′(t)与L_h′的对比。从图中可知,随着s或者w的变化,min L′(t)与L_h′之间的差异很小,可以忽略。max L′(t)与L_l′之间的差异较前者大,最大差值为图中s=18mm时的0.023 4 μH/m,仅为对应L_l′的4%,故也可忽略。可见,通过该方法计算求得的瞬态电感梯度值与Kerrisk和Grover的结果呈现出一致性。

3 讨论

3.1 电流波形对电感梯度的影响

实际电磁发射实验中,电流在后期为衰减状态,如图8所示,此节主要分析电流衰减过程中电感梯度的变化。求解时,激励选取图8中电流,其他设置与2.1节相同。

从图8中可知,在电流衰减阶段最明显的变化是,电感梯度值增长明显且超过低频电感梯度。这是因为轨道在电流衰减过程中受到涡流影响,轨道表面尤其是靠近两轨道内侧部分电流密度减小,轨道内部的电流密度增加,磁场在轨道和空间中分布更加均匀,相等电流情况下磁能更大,由式(3)可知电感梯度值也更大。图9为电流相等的2个时刻

图7 不同轨道尺寸下电感梯度值的比较 Fig.7 L′ comparison of different rail sizes

图8 实际电流波形时的求解结果 Fig.8 Results under actual current waveform

t=0.1 ms和t=4.8 ms时的磁感应强度分布图,图中黑色线框部分为轨道。

3.2 电导率对电感梯度的影响

从磁场控制方程(4)—(5)中可知,电导率是影响电磁场扩散行为的因素之一,因此也会对电感梯度产生影响。为此,取轨道尺寸和电流波形与上节相同,电导率分别为1.0×10⁷、3.0×10⁷、5.8×10⁷ S/m。计算结果如图10所示,3条曲线均单调递增且在电流开始下降的时刻（t=2 ms）呈现出明显的分界现象。0~2 ms期间,电导率越小,电感梯度值增长越快。原因是电磁场的扩散速度与电导率有关,电导率越小,趋肤深度越小,电磁场的扩散速度越快^[21],电感梯度值也更快地达到低频电感梯度值L_l′。2~5 ms期间,电导率越大,电感梯度值增长越快。这是因为在电流下降沿,电导率越大,磁场受涡流影响也越大,如上节所示,磁场分布会更加均匀,这样可以明显地增加电感梯度值。

图9 t=0.1 ms和t = 4.8 ms时的磁感应强度分布 Fig.9 Magnetic flux density distribution at t=0.1 ms and t=4.8 ms

图10 不同电导率的电感梯度 Fig.10 Inductance gradient carves of different conductivity

4 结论

1）电感梯度与电流的扩散程度有关。电磁发射初期,电流为高频分布状态,电感梯度值与Kerrisk的高频情况相对应;当电流在轨道中扩散均匀时,电感梯度增长为Grover的低频值。整个过程,电感梯度值单调递增。

2）在电流下降沿时,受涡流影响,电流分布发生改变,使得周围磁场分布更加均匀,磁能增加,电感梯度随之增加。

3）电导率影响涡流的强度。在电流上升沿,电导率越小,电感梯度增长得越快;在电流下降沿,电导率越大,电感梯度增长得越快。

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